逍遥学能 2013-02-01 09:58
一. 教学内容：
2.1 数列
2.2 等差数列
二. 教学目的：
1. 了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式。
2. 类比函数理解数列的几种表示（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类。
3. 掌握等差数列的概念、等差中项的概念，会根据定义判定数列是否是等差数列。
4. 掌握等差数列的通项公式及推导方法，会类比直线、一次函数等有关研究等差数列的性质，能熟练运用通项公式求有关的量：a1，d，n，an。
5. 掌握等差数列的前n项和公式及推导方法．当al，d，n，an，Sn中已知三个量时 高中生物，能熟练运用通项公式、前n项和公式求另两个量。灵活运用公式解决与等差数列有关的综合问题。能构建等差数列模型解决实际问题。
三. 教学重点、难点：
重点：数列的概念、数列的通项公式；等差数列的通项公式和前n项和公式。
难点：等差数列的通项公式和前n项和公式的推导以及它们的综合运用。
四. 知识分析：
（一）数列
1. 数列的定义：按照一定次序排列的一列数叫数列，数列中每一个数叫这个数列的项，第n项记作an，叫做数列的通项，我们常把一般形式的数列简记作{an}。
2. 数列是特殊函数
数列可以看成以正整数集N＋（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数。an=f(n)，当自变量按照从小到大依次取值时，所对应的一列函数值。
3. 通项公式：如果数列{an}的第n项与项数n之间的函数关系，可以用一个公式an=f(n)来表示，那么就把这个公式叫这个数列的通项公式。
通项公式可以看成数列的函数解析式。
4. 数列的分类：
（1）按项数有限还是无限来分：有穷数列和无穷数列；
（2）按照项与项之间的大小关系来分：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
5. 前面过数集，如果把数集中的元素按一定顺序排成一列，就是数列。但数列和数集有较大区别：数集中的元素是无序的，也是互异的；而数列中的元素却是有序的，而且是可以重复出现的。
6. 根据所给出的数列的前几项，写出符合要求的一个通项公式，主要方法是：
①要观察给出的若干数中的“不变”的内容，注意研究an与n的关系。
②多角度思考，全方位观察，广泛联想，将原数列作出适当的转化变形后，化为基本数列或特殊数列，常用技巧是：分解条件，寻找规律。
7. 如何利用数列与函数的关系来解题？
一方面，数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题。如由数列是定义在N*和它的子集{1，2，3，…，n}的函数可知an是n的函数，即an=f(n)。因此当{an}通项公式的一端的某个“n”用某个数或某个式或某个记号代替后，则两端的所有的“n”必须用同一个代替，特别地有 )，则图象呈上升趋势，即数列是递增的，即an递增 ，对任意的n（n∈N*）都成立。类似地有{an}递减< > 。对任意的n（n∈N*）都成立。
8. 如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an－1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
9. 若数列{an}的前n项和记为Sn，即 ，则 。
10. 通项公式和递推公式的区别在于：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an
11. 用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”?D?D数列{an}的第1项或前几项；②递推关系?D?D数列{an}的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示。
如果两个条件缺一个，数列就不能确定。例如，已知数列{an}的al＝1，a2＝2，这个数列就不能确定。因为有的说an＝n；有的说 ，则 ，将这些等式相加得到
若a1适合 ，则用一个公式表示an，若al不适合 ，则要用分段形式表示an，此处切不可不求a1，而直接求an.
（二）等差数列
1. 等差数列的定义：一般地，如果一个数列{an}从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，用式子可表示为 ，则数列{an}叫做等差数列。常数d叫做等差数列的公差。
2. 等差数列的单调性：等差数列的公差d>0时，数列为递增数列；d<0时，数列为递减数列；d=0时，数列为常数列。
3. 等差数列的通项公式
4. 要证明数列{an}为等差数列，只要证明：当 等于同一个常数d。
5. 对等差数列{an}而言：
（l）公差是从第二项起，每一项减去它前一项的差（同一常数），即 都成立。
（3） 时，an是关于n的一次函数。故 的图象是直线y=dx （a1?Dd）上当x∈N*时的点的集合。
由此可利用共线的方法解决有关等差数列问题。
（4）对任意的m，n∈N*，有 。
（5）公式中含四个量a1，an，d，n，已知任意三个，可求第四个量。
6. 如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
7. 等差数列的判定方法
（1） 。
（3） 。
（5） 。
（7）数列 （ 、b是常数）是公差为 的等差数列。
（8）下标成等差数列且公差为m的项 组成公差为md的等差数列。
（9）若 也为等差数列，则 仍成等差数列（首项不一定选 ）。
（11） 是等差数列，则 。
（2）若有三个数成等差数列，则一般设为
2. 若数列{an}的前n项和公式为 可进一步变形为：
，若令 ， （*），（*）式是等差数列前n项和公式的另一种表达形式。
（2）当A≠0，即d≠0时，（*）式是n的二次函数，即（n，Sn）在 的图象上，因此，当d≠0时，数列S1，S2，S3，…，Sn的图象是抛物线 上的一群离散的点。
（3）在求等差数列的和Sn时，如已知al、an、n，可用公式 来解，如已知al、n、d，则可用公式 ）是等差数列，其公差等于kd。
6 . 若在等差数列{an}中，a1＞0，d<0，则Sn存在最大值；若在等差数列{an}中，a1<0，d>0，则Sn存在最小值。
7. 若
（四）与和有关的等差数列的性质：
1. 若项数为2n ，则 ；
若项数为 ，
。
4. 若 也为等差数列。
【典型例题】
例1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解析：若要根据给出的前 4 项写出数列的通项公式，首先要细心观察四个数变化的规律，为了便于发现规律应注意两点：
第一是将个别破坏规律的项还原，如（l）中首先观察发现第一个数1应写成分数 ，然后发现分母应从小变大，则第三个数应还原为 。再由 很容易写出其通项公式。（2）题中由分母为31、32、33、34，分子为10、20、10、40，发现均为第三个数破坏了规律，分析可知应还原为 ，再写分子为n 1，最后写分母为 ，又如（4）的分母的规律不易看出，可将分母一分为二，变为 ， 。
点评：
1. 求数列的通项公式时，一般通过分解?D?D探索?D?D综合的方法进行归纳。要注意观察数列中的各项通过分解后哪些部分是不变的，哪些部分是变化的，变化的部分随其序号的变化情况如何，归纳时要重视从整体上把握数列的构成规律，写出通项公式。
2. 为了方便，掌握下面一些简单的常用数列的通项公式是有好处的：
。求证：当
。
证明：
整理得 解得n≥9
∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减。
点评：数列是特殊函数，可用研究函数的方法研究数列相应问题（如本题数列的增减性）
例3. 已知数列 为等差数列， 。
解法一：设数列 的首项为 ，公差为d
由已知得
解之得
则由题设，得
故所求四数分别为2，5，8，11或11，8，5，2
解法二：设这四个数分别为
所以所求四数分别为2，5，8，11或11，8，5，2
点评：本题巧设未知数，减少了未知量，简化了运算。一般地，三个数成等差数列，且它们的和已知时，可设为a－d，a，a d。而四个数可设为a－3d，a－d，a d，a 3d（公差为2d）。
例5. （2005年北京市模拟题）已知a，b，c成等差数列，那么a2（b＋c），b2（c a），c2（a b）是否构成等差数列？
证明：∵a，b，c成等差数列 ∴
即 。
（2）
整理得
解之得n=12或
解之得n=4
又由
即得
解法二：由
得
点评：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量 a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程（组）求解。这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用。
例7. 已知数列 的前n项和 ，求数列 的前n项和
∵n=1也适合上式
∴数列
由 时
（2）当
故
点评：由an与Sn的关系求通项公式是一类重要题型，要注意分类讨论的必要性。
例8. （2005年西安市统考题）一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和。
解法一：设等差数列 的公差为d，前n项和
则
由已知得
①×10－②整理得
故此数列的前110项之和为－110
解法二：设
解法三：设等差数列的首项为 ，公差为d
则
①－②得
成等差数列，设其公差为D。前10项的和
又
点评：本例解法较多，望同学们认真分析每种解法的思想实质，达到开阔思想探索研究，寻求简捷解法的目的。解法一是基本方法，不容忽视，解法二属函数观点，高瞻远瞩，解法三运用整体思想，解法四则利用性质，简捷明快，解法五利用了等差数列的性质。
【模拟】
1. 数列 的通项公式 ，作为函数，它的定义域是（ ）
A. 正整数集N*
B. 自然数集N
C. 正整数集N*或N*的任一子集
D. 正整数集N*，或其有限子集{1，2，…，n}
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B. 数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列
C. 数列 ）两数之间插入n个数，使它们与a,b组成等差数列，则该数列的公差为（ ）
A. C.
4. 在数列{ ，则 都是等差数列，且 ，则 ＋ ，则此数列前20项的和等于（ ）
A. 160 B. 180 C. 200 D. 220
7. （2004年福建文）设Sn是等差数列 的前n项和，若 （ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D.
8. （2004年重庆卷）若 是等差数列，首项 成立的最大自然数n是（ ）
A. 4005 B. 4006 C. 4007 D. 4008
9. （2005年吉林省实验第一次检测）在等差数列 中， ，则 等于__________。
11. 等差数列 __________。
12. 在数列 中，已知 ，那么使其前n项和 ，两个数列： 都是等差数列，求
其中每行、每列都是等差数列， 的计算公式。
15. 设 为等差数列， 为数列 的前n项和，已知 的前n项和，求 。
（1）求通项 12. 12
13. 解：设两个等差数列的公差分别为
解得
14. 解：（1）
第二行是首项为7，公差为5的等差数列
，公差为
15. 解：设等差数列 的公差为d，则
解得
16. 解：（1）
故