逍遥学能 2013-01-18 17:42
(总分160分，考试时间120分钟)
一、题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.已知全集 ,集合 , ,则 = ▲ .
2.已知复数 的实部为 ,虚部为 ,则 ( 为虚数单位)的模为 ▲ .
3.某学校为了解该校1200名男生的百米成绩（单位：秒），随机选择了50名学生进行调查.下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图.根据样本 的频率分布,估计这1200名学生中成绩在 （单位：秒）内的人数大约是 ▲ .
4.已知 张卡 片（大小,形状都相同）上分别写有 , , , ,从中任取两张,则这两张卡片中最大号码是3的概率
为 ▲ .
5.按如图所示的流程图运算,则输出的 ▲ .
6.已知向量 ,
若 ,则实数 = ▲ .
7.已知数列 成等差数列,其前 项和为 ,若
,则 的余弦值为 ▲ .
8.设 为两个不重合的平面， 为两条不重合的直线，
现给出下列四个命题：
①若 ,则 ；
②若 ，则 ；
③若 则 ；
④若 则 .
其中,所有真命题的序号是 ▲ .
9.已知函数 , 满足 , , , ,则函数 的图象在 处的切线方程为 ▲ .
10.在 中, , ,则 的面积为 ▲ .
11.已知椭圆 和圆 ,若 上存在点 ,使得过点 引圆 的两条切线,切点分别为 ,满足 ,则椭圆 的离心率的取值范围是 ▲ .
12.设 ,其中 为过点 的直线 的倾斜角,若当 最大时,直线 恰好与圆 相切,则 ▲ .
13.已知函数 恰有两个不同的零点,则实数 的取值范围是
▲ .
14.已知对于任意的实数 ,恒有“当 时,都存在 满足方程 ”,则实数 的取值构成的集合为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．(本小题满分14分)
已知角 、 、 是 的内角， 分别是其 对边长，向量 ， ， .
(1)求角 的大小；
(2)若 ,求 的长.
16．(本小题满分14分)
如图，在四面体 中, , 是 的中点．
(1)求证: 平面 ；
(2)设 为 的重心, 是线段 上一点,且 .
求证: 平面 .
17．(本小题满分14分)
如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于 三点处, , 到线段 的距离 , (参考数据: ). 今计划建一个生活垃圾中转站 ,为方便运输, 准备建在线段 (不含端点)上.
(1)设 ,试将 到三个小区距离的最远者 表示
为 的函数,并求 的最小值；
(2)设 ,试将 到三个小区的距离之和 表
示为 的函数,并确定当 取何值时,可使 最小?
18．(本小题满分16分)
如图, 是椭圆 的左、右顶点,椭圆 的离心率为 ,右准线 的方程为 .
(1)求椭圆方程；
(2)设 是椭圆 上异于 的一点,直线 交 于点 ,以 为直径的圆记为 .
①若 恰好是椭圆 的上顶点,求 截直线 所得的弦长;
②设 与直线 交于点 ,试证明:直线 与 轴的交点 为定点,并求该定点的坐标.
19．(本小题满分16分)
已知数列 是等差数列,数列 是等比数列,且对任意的 ,都有 .
(1)若 的首项为4, 公比为2,求数列 的前 项和 ;
(2)若 .
①求数列 与 的通项公式;
②试探究:数列 中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它 项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由．
20．(本小题满分16分)
已知函数 ,其中 .
(1)当 时,求函数 在 处的切线方程;
(2)若函数 在区间(1,2)上不是单调函数,试求 的取值范围;
(3)已知 ,如果存在 ,使得函数 在 处取得最小值,试求 的最大值.
高三年级学情调研考试
数学附加试题
(总分40分，考试时间30分钟)
21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.（选修4—1：几何证明选讲）
在直角三角形 中, 是 边上的高, , , 分别为垂足,求证： .
B．（选修4—2：矩阵与变换）
已知曲线 ,现将曲线 绕坐标原点逆时针旋转 ,求所得曲线 的方程.
C．（选修4—4：坐标系与参 数方程）
在极坐标系中,已知圆 的圆心坐标为 ,半径为 ,试写出圆 的极坐标方程.
D.（选修4—5：不等式选讲）
已知 为正数，求证： .
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22.如图,在四棱锥 中, ⊥底面 ,底面 为梯形, , ,
,点 在棱 上,且 ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)求平面 和平面 所成锐二面角的余弦值．
23.已知数列 满足 ,试证明:
(1)当 时,有 ；
(2) .
2013届高三年级学情调研考试
数学参考答案
又 ， ,则由正弦定理,得 = ,即 4 …………………………14分
16．证明:(1)由 ………………………………………………………………… 3分
同理， ,又∵ , 平面 ,∴ 平面 ………………7分
(2)连接AG并延长交CD于点O,连接EO.因为G为 的重心,所以 ,
又 ,所以 …………………………………………………………………………11分
又 , ,所以 平面 ……………………………………………11分
因为 ,令 ,即 ,从而 ,
当 时, ;当 时, .
………………… 6分
又直线 的方程为 ,故圆心到直线 的距离为 ……………………8分
从而 截直线 所得的弦长为 ………………………………………10分
②证:设 ,则直线 的方程为 ,则点P的坐标为 ,
又直线 的斜率为 ,而 ,所以 ,
从而直线 的方程为 …………………………………………………13分
令 ,得点R的横坐标为 …………………………………………………………14分
又点 在椭圆上,所以 ,即 ,故 ,
所以直线 与 轴的交点 为定点,且 该定点的坐标为 …………………………………16分
19.解: (1)因为 ,所以当 时, ,两式相减,得 ,
而当 时, ,适合上式,从而 …………………………………3分
又因为 是首项为4,公比为2的等比数列,即 ,所以 …………………………4分
从而数列 的前 项和 …………………6分
(2)①设 ,则 ,所以 ,
设 的公比为 ,则 对任意的 恒成立 ……………………8分
即 对任意的 恒成立,
又 ,故 ,且 …………………………………………………………………10分
从而 …………………………………………………………………………………11分
②假设数列 中第k项可以表示为该数列中其它 项
的和,即 ,从而 ,易知 (*)…………………13分
又 ,
所以 ,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在……………………………………………………16分
20．解:(1)当 时, ,则 ,故 ……………………2分
又切点为 ,故所求切线方程为 ,即 …………………………………4分
(2)由题意知, 在区间(1,2)上有不重复的零点,
由 ,得 ,因为 ,所以 ……………7分
令 ,则 ,故 在区间(1,2)上是增函数,
所以其值域为 ,从而 的取值范围是 ………………………………………………9分
(3) ,
由题意知 对 恒成立,即 对 恒成立,即 ①对 恒成立 ……………………………11分
当 时,①式显然成立;
当 时,①式可化为 ②,
令 ,则其图象是开口向下的抛物线,所以 ……………13分
即 ,其等价于 ③ ,
因为③在 时有解,所以 ,解得 ,
从而 的最大值为 ………………………………………………………………………………16分
附加题
21．（A）证明： 为直角三角形, ,
∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ……………………………………………4分
, , , ,
……………………………………………………………………………………………10 分
B．解：（1）由旋转坐标公式 ………………………………………………………5分
得变换公式为 ，代入得曲线 的方程为 …………………………10分
C ．解：设 是圆 上任一点,由余弦定理,得 ………………………5分
整理得圆 的极坐标方程为 …………………………………………………………10分
D.证明： , ………………………………………………………5分
同理, , ,三式相加，得 ………………………10分
23．证明：(1) 当 时, ,
所以不等式成立…………………………………………………………………………………………5分
(2)