第一章综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷非两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．sin2cos3tan4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0D．不存在
[答案] A
[解析] ∵π2<2<π，∴sin2>0，∵π2<3<π，∴cos3<0，∵π<4<3π2，∴tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.
2．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )
A．43B．－43
C．±43D.3
[答案] B
[解析] 由条件知，tan600°＝a－4，
∴a＝－4tan600°＝－4tan60°＝－43.
3．(08•全国Ⅰ文)y＝(sinx－cosx)2－1是( )
A．最小正周期为2π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数
[答案] D
[解析] ∵y＝(sinx－cosx)2－1＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x－1＝－sin2x，
∴函数y＝(sinx－cosx)2－1的最小正周期为π，且是奇函数．
4．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π的简图是( )
[答案] A
[解析] x＝0时，y<0，排除B、D，
x＝π6时，y＝0，排除C，故选A.
5．为了得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin2x的图象( )
A．向左平移5π12个长度单位
B．向右平移5π12个长度单位
C．向左平移5π6个长度单位
D．向右平移5π6个长度单位
[答案] A
[解析] y＝cos(2x＋π3)＝sin(2x＋π2＋π3)
＝sin(2x＋5π6)＝sin2(x＋5π12)，
由y＝sin2x的图象得到y＝cos(2x＋π3)的图象．
只需向左平移5π12个长度单位就可以．
6．函数y＝sinx的一个单调增区间是( )
A.－π4，π4B.π4，3π4
C.π，3π2D.3π2，2π
[答案] C
[解析] 画出函数y＝sinx的图象，如图所示．
由函数图象知它的单调增区间为kπ，kπ＋π2(k∈Z)，所以当k＝1时，得到y＝sinx的一个单调增区间为π，3π2，故选C.
7．(08•四川)设0≤α≤2π，若sinα>3cosα，则α的取值范围是( )
A.π3，π2B.π3，π
C.π3，4π3D.π3，3π2
[答案] C
[解析] ∵sinα>3cosα，
∴cosα>0tanα>3或cosα<0tanα<3或cosα＝0sinα＝1，
∴π3<α<4π3.
[点评] ①可取特值检验，α＝π2时，1＝sinπ2>3cosπ2＝0，排除A；α＝π时，0＝sinπ>3cosπ＝－3，排除B；α＝4π3时，sin4π3＝－32，3cos4π3＝－32，∴sin4π3＝3cos4π3，排除D，故选C.②学过两角和与差的三角函数后，可化一角一函解决，sinα－3cosα＝2sinα－π3>0，∴sinα－π3>0，∵0≤α≤2π，∴π3<α<4π3.
8．方程sinπx＝14x的解的个数是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案] C
[解析] 在同一坐标系中分别作出函数y1＝sinπx，y2＝14x的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计7个．
9．已知△ABC是锐角三角形，P＝sinA＋sinB，Q＝cosA＋cosB，则( )
A．P<QB．P>Q
C．P＝QD．P与Q的大小不能确定
[答案] B
[解析] ∵△ABC是锐角三角形，∴0<A<π2，0<B<π2，A＋B>π2，∴A>π2－B，B>π2－A，
∵y＝sinx在0，π2上是增函数，
∴sinA>cosB，sinB>cosA，
∴sinA＋sinB>cosA＋cosB，∴P>Q.
10．若函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)对任意的x都满足fπ3＋x＝fπ3－x，则fπ3的值是( )
A．3或0B．－3或0
C．0D．－3或3
[答案] D
[解析] f(x)的图象关于直线x＝π3对称，故fπ3为最大值或最小值．
11．下列函数中，图象的一部分符合下图的是( )
A．y＝sin(x＋π6)
B．y＝sin(2x－π6)
C．y＝cos(4x－π3)
D．y＝cos(2x－π6)
[答案] D
[解析] 用三角函数图象所反映的周期确定ω，再由最高点确定函数类型．从而求得解析式．
由图象知T＝4(π12＋π6)＝π，故ω＝2，排除A、C.
又当x＝π12时，y＝1，而B中的y＝0，故选D.
12．函数y＝2sinπ3－x－cosx＋π6(x∈R)的最小值为( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．－5
[答案] C
[解析] ∵y＝2sinπ3－x－cosx＋π6
＝2cosπ2－π3－x－cosx＋π6＝cosx＋π6，
∴yin＝－1.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．若1＋sin2θ＝3sinθcosθ则tanθ＝________.
[答案] 1或12
[解析] 由1＋sin2θ＝3sinθcosθ变形得2sin2θ＋cos2θ－3sinθcosθ＝0⇒(2sinθ－cosθ)(sinθ－cosθ)＝0，
∴tanθ＝12或1.
14．函数y＝16－x2＋sinx的定义域为________．
[答案] [－4，－π]∪[0，π]
[解析] 要使函数有意义，则16－x2≥0sinx≥0，
∴－4≤x≤42kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，
∴－4≤x≤－π或0≤x≤π.
15．已知集合A＝{α30°＋k•180°<α<90°＋k•180°，k∈Z}，集合B＝{β－45°＋k•360°<β<45°＋k•360°，k∈Z}，则A∩B＝________.
[答案] {α30°＋k•360°<α<45°＋k•360°，k∈Z}
[解析] 如图可知，
A∩B＝{α30°＋k•360°<α<45°＋k•360°，k∈Z}．
16．若a＝sin(sin2009°)，b＝sin(cos2009°)，c＝cos(sin2009°)，d＝cos(cos2009°)，则a、b、c、d从小到大的顺序是________．
[答案] b<a<d<c
[解析] ∵2009°＝5×360°＋180°＋29°，
∴a＝sin(－sin29°)＝－sin(sin29°)<0，
b＝sin(－cos29°)＝－sin(cos29°)<0，
c＝cos(－sin29°)＝cos(sin29°)>0，
d＝cos(－cos29°)＝cos(cos29°)>0，
又0<sin29°<cos29°<1<π2，∴b<a<d<c.
[点评] 本题“麻雀虽小，五脏俱全”，考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合题训练．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知sinθ＝1－a1＋a，cosθ＝3a－11＋a，若θ为第二象限角，求实数a的值．
[解析] ∵θ为第二象限角，∴sinθ>0，cosθ<0.
∴1－a1＋a>0，3a－11＋a<0，解之得，－1<a<13.
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴1－a1＋a2＋3a－11＋a2＝1，
解之，得a＝19或a＝1(舍去)．
故实数a的值为19.
18．(本题满分12分)若集合＝θsinθ≥12，0≤θ≤π，N＝θcosθ≤12，0≤θ≤π，求∩N.
[解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，找出集合N和集合对应的部分，然后求∩N.
首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y＝12.如图．
结合图象得集合、N分别为
＝θπ6≤θ≤5π6，N＝θπ3≤θ≤π.
得∩N＝θπ3≤θ≤5π6.
解法二：利用单位圆中的三角函数线确定集合、N.
作出单位圆的正弦线和余弦线如图所示．
由单位圆中的三角函数线知
＝θπ6≤θ≤5π6，
N＝θπ3≤θ≤π.
由此可得∩N＝θπ3≤θ≤5π6.
19．(本题满分12分)已知cosx＋siny＝12，求siny－cos2x的最值．
[解析] ∵cosx＋siny＝12，∴siny＝12－cosx，
∴siny－cos2x＝12－cosx－cos2x
＝－cosx＋122＋34，
∵－1≤siny≤1，∴－1≤12－cosx≤1，
解得－12≤cosx≤1，
所以当cosx＝－12时，(siny－cos2x)ax＝34，
当cosx＝1时，(siny－cos2x)in＝－32.
[点评] 本题由－1≤siny≤1求出－12≤cosx≤1是解题的关键环节，是易漏掉出错的地方．
20．(本题满分12分)已知y＝a－bcos3x(b>0)的最大值为32，最小值为－12.
(1)求函数y＝－4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x；
(2)判断其奇偶性．
[解析] (1)∵y＝a－bcos3x，b>0，
∴yax＝a＋b＝32yin＝a－b＝－12，解得a＝12b＝1，
∴函数y＝－4asin(3bx)＝－2sin3x.
∴此函数的周期T＝2π3，
当x＝2kπ3＋π6(k∈Z)时，函数取得最小值－2；
当x＝2kπ3－π6(k∈Z)时，函数取得最大值2.
(2)∵函数解析式f(x)＝－2sin3x，x∈R，
∴f(－x)＝－2sin(－3x)＝2sin3x＝－f(x)，
∴y＝－2sin3x为奇函数．
21．(本题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示．试依图推出：
(1)f(x)的最小正周期；
(2)f(x)的单调递增区间；
(3)使f(x)取最小值的x的取值集合．
[解析] (1)由图象可知，T2＝74π－π4＝32π，
∴T＝3π.
(2)由(1)可知当x＝74π－3π＝－54π时，函数f(x)取最小值，
∴f(x)的单调递增区间是－54π＋3kπ，π4＋3kπ(k∈Z)．
(3)由图知x＝74π时，f(x)取最小值，
又∵T＝3π，∴当x＝74π＋3kπ时，f(x)取最小值，
所以f(x)取最小值时x的集合为
xx＝74π＋3kπ，k∈Z.
22．(本题满分14分)函数f(x)＝1－2a－2acosx－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)．
(1)求g(a)；
(2)若g(a)＝12，求a及此时f(x)的最大值．
[解析] (1)由f(x)＝1－2a－2acosx－2sin2x
＝1－2a－2acosx－2(1－cos2x)
＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)
＝2cosx－a22－a22－2a－1.这里－1≤cosx≤1.
①若－1≤a2≤1，则当cosx＝a2时，f(x)in＝－a22－2a－1；
②若a2>1，则当cosx＝1时，f(x)in＝1－4a；
③若a2<－1，则当cosx＝－1时，f(x)in＝1.
因此g(a)＝1 (a<－2)－a22－2a－1 (－2≤a≤2)1－4a (a>2).
(2)∵g(a)＝12.
∴①若a>2，则有1－4a＝12，得a＝18，矛盾；
②若－2≤a≤2，则有－a22－2a－1＝12，
即a2＋4a＋3＝0，∴a＝－1或a＝－3(舍)．
∴g(a)＝12时，a＝－1.
此时f(x)＝2cosx＋122＋12，
当cosx＝1时，f(x)取得最大值为5.
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