奇偶性

§1.3. 2奇偶性
一、内容与解析
（一）内容：奇偶性。
（二）解析：函数奇偶性是用代数方法研究函数图象整体对称性，是学生在学习了函数的概念和单调性的基础上学习的又一个重要性质，所以对本节的理解与掌握对巩固前面学习的知识，以及为后面进一步学好指数函数、对数函数、三角函数等内容都具有十分重要的意义。
二、目标及其解析：
（一）目标
（1）函数奇偶性的概念和判定；
（二）解析
（1）根据高一学生的认知规律和特点，按照“由具体到抽象”和“抓联系、促迁移”的原则进行，使学生体验类比思想、数形结合思想在认识函数中的作用，提高观察、分析、抽象和概括等方面的能力，具体讲就是要经历概念教学的四个阶段：第一阶段：感性认识阶段，即通过分析问题情景中的生活实例与数学实例等素材，分解内含属性，找出共同属性；第二阶段：分化本质属性阶段，即舍弃非本质属性，从共同属性中抽象出结构上的本质属性，迁移到研究函数图象的对称性问题中；第三阶段：概括形成定义阶段：即通过“图像语言→自然语言→数学语言→符号语言”的迁移，刻画函数奇偶性的特征，得到定义；第四阶段：应用于强化阶段，即通过例习题的教与学说明如何用定义进行判定和证明函数的奇偶性，并挖掘要注意的问题，从而感悟概念的内涵与外延。。
三、问题诊断分析
函数奇偶性的判断，一个重要的依据就是定义，学生容易出现的问题的没有考虑函数的定义域，从而导致错误。
四、教学支持条分析
在本节一次递推的教学中，准备使用PowerPoint 2003。因为使用PowerPoint 2003，有利于提供准确、最核心的字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。
五、教学过程
（一）研探新知：
（1）奇偶函数的定义：
一般地，对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有 ，那么 就叫做偶函数．对于函数 的定义域的任意一个 ，都有 ，那么 就叫做奇函数．
思考：判断函数 的奇偶性．
解析：函数 是非奇非偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．
温馨提示：
①定义中的“定义域内的任意一个 ”说明：函数的奇偶性是函数的整体性质，而非同单调性的区间性质；
②定义中的“都有 ”说明：函数具有奇偶性必须首先满足一个先决条，即对于定义域内的任意一个 ， 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
③根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数，其中，函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性．
④等式的等价形式：
． ；
.
据此，可把逻辑推理转换为代数运算.
（2） 奇偶函数的图象特征：偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
思考：函数y＝f(x)(x∈[－2,2])的图象如图所示，则f(x)＋f(－x)＝ .
解析：由图象可知f(x)为定义域上的奇函数．
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.
温馨提示：若一个函数的图象关于 轴对称，则此函数是偶函数；若关于原点对称，则为奇函数.
（3） 奇偶性性质：①设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域（非空）上：
奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇．
②已知函数 是奇函数，且 有定义，则 .
设计意图：通过以上问题的探讨，使学生逐渐体会运用定义解题的基本方法。
（二）类型题探究
题型一 函数的奇偶性的判定
例1．判断下列函数的奇偶性
（1） ；
（2）
思路分析：根据定义，先验证函数定义域的对称性，再考察 ．
解：（1）函数的定义域为 ，所以解析式可以化简为 ，
因为
所以，函数 在 上为奇函数。
（2）当 ＞0时，－ ＜0，于是
；
当 ＜0时，－ ＞0，于是

综上可知， 在R*上是奇函数．
规律总结：利用定义判断函数奇偶性的步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定 ；
③作出相应结论.
误区警示：第（1）题中，若忽略定义域的求解，就不能有效化简函数式，会错误的认为函数不具备奇偶性；第（2）题中，往往忽略或不能准确讨论自变量的取值范围。
题型二 函数的奇偶性的性质
例2.辨析正误
(1)两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
(2)已知函数 是奇函数或偶函数，方程 =0有实根，那么方程 =0的所有实根之和为零。
思路分析：函数的一般性性质辨析题可从反例、特例入手解决。
解：（1）错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数或偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如, ， ，可以看出函数都是定义域上的奇函数，它们的差只在区间[－1，1]上有定义且 ，而在此区间上函数 既是奇函数又是偶函数。
（2）正确。方程 =0的实数根即为函数 与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若 ，则 。
误区警示：在处理奇、偶函数的和差积商的属性时，易忽略定义域的判定，导致错误解答与应用.
题型三 利用函数的奇偶性求解析式中的参数
例3.设函数 为奇函数，则实数 ______________。
思路分析：借助奇偶性的定义，利用对应相等可以准确解决问题.
解1： ，

即 ， .
解2：
，即 ， ，
经验证适合题意.
解3：
， ，经验证适合题意.
规律总结：
利用函数奇偶性求解析式中的参数的思路：
①定义法；准确但不快捷；
②特值法：快捷但不准确，必须加以验证.
(三）小结：
六、目标检测
目标检测一
1.下列图象表示的函数中具备奇偶性的是（ B ）

2. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝(　C　)
（A）3　　　　　（B）－3 （C）2 （D）7
3. 在定义域为 （a>0）内，函数 、 均为奇函数，则 为（ A ）
（A）奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）无法判断奇偶性
4. 以下四个函数：（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ，其中奇函数是（1） ，偶函数是（3） ，非奇非偶函数是（4） ，即奇又偶函数是（2）.
5. 函数 在[－5，5]上为奇函数，其在[0，5]上的图象如图所示，则使 <0的x的取值范围为
6. 函数 在实数集上是奇函数，则a= 0 .
7.已知 是定义在R上的函数，设 ，
⑴试判断 的奇偶性；⑵试判断 的关系；
⑶由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．
解析：⑴利用奇偶性的定义可得： 分别为偶函数与奇函数；
⑵ ；
⑶定义在R上任何一个函数均可分解为一个奇函数与一个偶函数的和的形式.
目标检测二
1. 函数f(x)的图象是两条直线的一部分(如图所示)，其定义域为[－1,0)∪(0,1]，则不等式f(x)－f(－x)＞－1的解集是(　D　)
（A）{x－1≤x≤1且x≠0}
（B）{x－1≤x<0}
（C）{x－1≤x<0或12<x≤1}
（D）{x－1≤x<—12或0<x≤1}
2.已知 对任意实数 都成立，则函数 是（ A ）
（A）奇函数 （B）偶函数
（C）可以是奇函数也可以是偶函数 （D）不能判定奇偶性
解析：显然 的定义域是 ，它关于原点对称．在 中，
令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ ，∴ ，即 ， ∴ 是奇函数．
3.设函数 与 的定义域是 ,函数 是一个偶函数， 是一个奇函数，且 ，则 等于（ A ）
（A） （B） （C） （D）
4.若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________________.
解析：由于f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，可知b≠0，∴f(x)为二次函数，
f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.
∵f(x)为偶函数，∴其对称轴为x＝0，∴－2a＋ab2b＝0，
∴2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.
若a＝0，则f(x)＝bx2与值域是(－∞，4]矛盾，∴a≠0，
若b＝－2，又其最大值为4，
∴4b×2a24b＝4，∴2a2＝4，∴f(x)＝－2x2＋4.
5.定义在 上的奇函数 在整个定义域上是减函数，若 ，求实数 的取值范围。
解析： ，因为函数 为奇函数，所以 ，又因为函数 在 上是减函数，
所以 ，解之得a无解.



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