逍遥学能 2013-01-17 22:38
2013年高考数学总复习 8-7 圆锥曲线的综合问题(理)但因为测试 新人教B版
1.(2011•宁波十校联考 )已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则AB等于( )
A．3 B．4
C．32 D．4 2
[答案] C
[解析] 设A(x1,3－x21)，B(x2,3－x22)，由于A、B关于直线x＋y＝0对称，∴x1＝x22－33－x21＝－x2，解得x1＝－2x2＝1或x1＝1x2＝－2，设直线AB的 斜率为kAB，
∴AB＝1＋k2ABx1－x2＝32.故选C.
2．(2011•南昌检测(二))过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A.22 B.33
C.12 D.13
[答案] B
[解析] 记F1F2＝2c，则PF1＝2c3，PF2 ＝4c3，所以椭圆的离心率为F1F2PF1＋PF2＝2c2c3＋4c3＝33，选B.
3．(2011•长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→•PF2→的最小值为( )
A．－2 B．－8116
C．1 D．0
[答案] A
[解析] 由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则PA1→•PF2→＝(－1－x，－y)•(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在x≥1上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即PA1→•PF2→取最小值，最小值为－2.
4．(2011•大纲全国理，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )
A.45 B.35
C．－35 D．－45
[答案] D
[解析] 方法一：联立y2＝4xy＝2x－4，
解得x＝4y＝4或x＝1y＝－2，不妨设A在x轴上方，
∴A(4,4)，B(1，－2)，
∵F点坐标为(1,0)，∴FA→＝(3,4)，FB→＝(0，－2)，
cos∠AFB＝FA→•FB→FA→•FB→＝－85×2＝－45.
方法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)，AB＝35，AF＝5，BF＝2，
由余弦定理知，
cos∠AFB＝AF2＋BF2－AB22•AF•BF＝－45.
5．(2011•台州二模)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则AFBF的值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[答案] C
[解析] 由题意设直线l的方程为y＝3(x－p2)，即x＝y3＋ p2，代入抛物线方程y2＝2px中，整理得3y2－2py－3p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝3p，yB＝－33p，所以AFBF＝yAyB＝3.
6．(2011•海南一模)若AB是过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中心的一条弦，是椭圆上任意一点，且A、B与两坐标轴均不平行，kA、kB分别表示直线A、B的斜率，则kA•kB＝( )
A．－c2a2 B．－b2a2
C．－c2b2 D．－a2b2
[答案] B
[解析] 解法一(直接法)：设A(x1，y1)，(x0，y0)，则B(－x1，－y1)，
kA•kB＝y0－y1x0－x1•y0＋y1x0＋x1＝y20－y21x20－x21
＝－b2a2x20＋b2－－b2a2x21＋b2x20－x21
＝－b2a2.
解法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，(0，b)，可得kA•kB＝－b2a2.
7．(2010•吉林省调研)已知过双曲线x2a2－y2b2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
[答案] (1，2)
[解析] 由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即ba<1，∴c2－a2a2<1，∴c2a2<2，
即e2<2，∵e>1，∴1<e<2.
8．(2010•安徽安庆联考)设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆x2＋y24＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为2－1的点P的个数为________．
[答案] 3
[解析] 设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y＝2x＋b，代入x2＋y24＝1中消去y得，8x2＋4bx＋b2－4＝0，
由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b＝±22，
显见y＝2x＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A(－1,0)，B(0,2)，
∵直线y＝2x＋22与l距离d＝22－25，
∴欲使S△ABP＝12AB•h＝52h＝2－1，须使h＝22－25，∵d＝h，∴直线y＝2x＋22与椭圆切点，及y＝2x＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P有3个．
9．(2011•海南五校联考)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为，N为抛物线上的一点，且NF＝32N，则∠NF＝________.
[答案] 30°
[解析] 作NH垂直于准线于H，由抛物线的定义得
NH＝NF，
∴NHN＝NFN＝32＝sin∠HN，得∠HN＝60°，
∴∠NF＝90°－60°＝30°.
10．(2011•安徽模拟)点A、B分别为椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设是椭圆长轴AB上的一点，到直线AP的距离等于B，求椭圆上的点到点的距离d的最小值．
[解析] (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则AP→＝(x＋6，y)，FP→＝(x－4，y)．
由已知得x236＋y220＝1x＋6x－4＋y2＝0
消去y得，2x2＋9x－18＝0，∴x＝32或x＝－6
由于y>0，只能x＝32，于是y＝523
所以点P的坐标是(32，523)．
(2)直线AP的方程是x－3y＋6＝0
设点的坐标是(,0)，则到直线AP的距离是
＋62，于是＋62＝－6，
又－6≤≤6，解得：＝2
∵椭圆上的点(x，y)到点的距离是d，
∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－59x2
＝49(x－92)2＋15，
由于－6≤x≤6，所以当x＝92时d取最小值15.
11.(2011•新标全国，9)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
[答案] C
[解析] 设抛物线为y2＝2px，则焦点Fp2，0，准线x＝－p2，由AB＝2p＝12，知p＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S＝12×12×6＝36.
12．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) ，过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，若OA→•OB→＝0，则椭圆的离心率e等于( )
A.－1＋52 B.－1＋32
C.12 D.32
[答案] A
[解析] 如上图，F2(c,0)把x＝c代入椭圆x2a2＋y2a2＝1得A(c，b2a)．
由OA→•OB→＝0结合图形分析得
OF2＝AF2，
即c＝b2a⇒b2＝ac⇒a2－c2＝ac
⇒(ca)2＋ca－1＝0⇒e2＋e－1＝0⇒e＝5－12.
13． (2011•辽宁沈阳二中检测)已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(－∞，4]
C．(10，＋∞) D．(－∞，10]
[答案] D
[解析] 过点A(0，－2)作曲线C：y＝2x2的切线，设方程为y＝kx－2，代入y＝2x2得，
2x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－16＝0得k＝±4，
当k＝4时，切线为l，
∵B点 在直线x＝3上运动，直线y＝4x－2与x＝3的交点为(3,10)，当点B(3， a)满足a≤10时，视线不被曲线C挡住，故选D.
14．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为32，其中A(0，－b)，B(a,0)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点为线段PQ的中点．若点在直线x＝－2上的射影为N，满足PN→•QN→＝0，且PQ→＝10，求直线l的方程．
[解析] (1)依题意有ca＝2，aba2＋b2＝32，a2＋b2＝c2.
解得a＝1，b＝3，c＝2.
所以，所求双曲线的方程为x2－y23＝1.
(2)当直线l⊥x轴时，PQ→＝6，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．
由x2－y23＝1x>0y＝kx－2得，
(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0. ①
因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有
x1＋x2＝4k2k2－3>0，x1x2＝4k2＋3k2－3>0，Δ＝4k22－43－k2－4k2－3>0，
所以k2>3. ②
因为PN→•QN→＝0，则PN⊥QN，又为PQ的中点，PQ→＝10，所以P＝N＝Q＝12PQ＝5.
又N＝x0＋2＝5，∴x0＝3，
而x0＝x1＋x22＝2k2k2－3＝3，
∴k2＝9，解得k＝±3.
∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意．
所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．
即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.
15．(2010•北京崇区)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
(3)在线段OF上是否存在点(,0)，使得以P，Q为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由已知，椭圆方程可设为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b＝c＝1，a＝2.
所求椭圆方程为x22＋y2＝1.
(2)右焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝x－1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由x2＋2y2＝2y＝x－1得，3y2＋2y－1＝0，
解得y1＝－1，y2＝13.
∴S△POQ＝12OF•y1－y2＝12y1－y2＝23.
(3) 假设在线段OF上存在点(,0)(0<<1)，使得以P、Q为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．
由x2＋2y2＝2y＝kx－1可得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
∴x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2.
P→＝(x1－，y1)，Q→＝(x2－，y2)，PQ→＝(x2－x1，y2－y1)．其中x2－x1≠0以P，Q为邻边的平行四边形是菱形
⇔(P→＋Q→)⊥PQ→⇔(P→＋Q→)•PQ→＝0
⇔(x1＋x2－2，y1＋y2)•(x2－x1，y2－y1)＝0
⇔(x1＋x2－2)(x2－x1)＋(y1＋y 2)(y2－y1)＝0
⇔(x1＋x2－2)＋k(y1＋y2)＝0
⇔4k21＋2k2－2＋k24k21＋2k2－2＝0
⇔2k2－(2＋4k2)＝0⇔＝k21＋2k2(k≠0)．
∴0<<12.
1． (2010•安徽江南十校联考)已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a>1)的上顶点为A，左、右焦点为F1、F2，直线AF2与圆：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆内存在动点P，使PF1，PO，PF2成等比数列(O为坐标原点)，求PF1→•PF2→的取值范围．
[解析] (1)圆：x2＋y2－6x－2y＋7＝0化为(x－3)2＋(y－1)2＝3，
则圆的圆心为(3,1)，半径r＝3.
由A(0,1)，F2(c,0)，(c＝a2－1)，得直线AF2：
xc＋y＝1，
即x＋cy－c＝0，
由直线AF2与圆相切，得3＋c－cc2＋1＝3，
解得c＝2或c＝－2(舍去)．
则a2＝c2＋1＝3，故椭圆C的方程为：x23＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2，0)、F2(2，0)，设P(x，y)，
由题意知PO2＝PF1•PF2，
即(x2＋y2)2＝x＋22＋y2•x－22＋y2，
化简得：x2－y2＝1，则x2＝y2＋1≥1.
因为点P在椭圆内，故x23＋y2<1，即x23＋x2－1<1，
∴x2<32，∴1≤x2<32，
又PF1→•PF2→＝x2－2＋y2＝2x2－3，
∴－1≤PF1→•PF2→<32.
2．(2010•广州市质检)已知动点P到定点F(2，0)的距离与点P到定直线l：x＝22的距离之比为22.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若E→•FN→＝0，求N的最小值．
[解析] (1)设点P(x，y)，
依题意有，x－22＋y2x－22＝22，整理得x24＋y22＝1，
所以动点P的轨迹C的方程为x24＋y22＝1.
(2)∵点E与点F关于原点O对称，
∴点E的坐标为(－2，0)．
∵、N是直线l上的两个点，
∴可设(22，y1)，N(22，y2)(不妨设y1>y2)．
∵E→•FN→＝0，∴(32，y1)•(2，y2)＝0，
∴6＋y1y2＝0，即y2＝－6y1.
由于y1>y2，∴y1>0，y2<0.
∴N＝y1－y2＝y1＋6y1≥2y1•6y1＝26.
当且仅当y1＝6，y2＝－6时，等号成立．
故N的最小值为26.
3．(2011•浙江，22)如下图，设P是抛物线C1：x2＝y上的动点，过点P做圆C2：x2＋( y＋3)2＝1的两条切线，交直线l：y＝－3于A，B，两点.
(1)求圆C2的圆心到抛物线C1准线的距离．
(2)是否存在点P，使线段AB被抛物 线C1在点P处的切线平分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)因为抛物线C1的准线方程为：y＝－14，
所以圆心到抛物线C1准线的距离为：
－14－ (－3)＝114.
(2)设点P的坐标为(x0，x20)，抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D，再设A，B，D的横坐标分别为xA，xB，xD；
过点P(x0，x20)的抛物线C1的切线方程为：
y－x20＝2x0(x－x0) ①
当x0＝1时，过点P(1,1)与圆C2的切线PA为：
y－1＝158(x－1)，
可得xA＝－1715，xB＝1，xD＝－1，xA＋xB≠2xD.
当x0＝－1时，过点P(－1,1)与圆C2的切线PB为：
y－1＝－158(x＋1)，
可得xA＝－1，xB＝1715，xD＝1，xA＋xB≠2xD.
所以x20－1≠0.
设切线PA，PB的斜率为k1，k2，则
PA：y－x20＝k1(x－x0)， ②
PB：y－x20＝k2(x－x0)， ③
将y＝－3分别代入①，②，③得
xD＝x20－32x0(x0≠0)；
xA＝x0－x20＋3k1，xB＝x0－x20＋3k2(k1，k2≠0)
从而xA＋xB＝2x0－(x20＋3)(1k1＋1k2)
又－x0k1＋x21＋3k21＋1＝1
即(x20－1)k21－2(x20＋3)x0k1＋(x20＋3)2－1＝0.
同理，(x20－1)k22－2(x20＋3)x0k2＋(x20＋3)2－1＝0
所以k1，k2是方程(x20－1)k2－2(x20＋3)x0k＋(x20＋3)2－1＝0的两个不相等的根，从而k1＋k2＝23＋x20x0x20－1，
k1•k2＝3＋x202－1x20－1，
因为xA＋xB＝2xD.
所以2x0－(x20＋3)(1k1＋1k2)＝x20－3x0，即1k1＋1k2＝1x0.
从而23＋x20x0x20＋32－1＝1x0，进而得，x40＝8，x0＝±48.
综上所述，存在点P满足题意，点P坐标为(±48，22)．