北京市西城区2015届高三上学期期末考试试题（数学 理）

北京市西城区2015 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则集合（ ）（A） （B） （C） （D）2.已知复数z满足，那么的虚部为（ ）（A） （B） （C） （D）3.在△ABC中，，，，（ ）（A） （B） （C） （D）4.执行如图所示的程序框 （B） （C） （D）5.已知圆与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（ ）（A） （B）（C） （D）6.若曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数,满足（ ）（A） （B） （C） （D）7.．定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ） （A） （B） （C） （D）8.如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设x，则当时，函数的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】试题分析：棱长为，故体对角线=，根据对称性，只需研究，函数的值域，连接，则面，此时，当时，截面周长为截面周长的一半，即，当时，即当截面过体对角线中点时，此时截面为正六边形，其顶点为个棱的中点，如图所示，截面周长为.，所以函数的值域为.考点：1、直线和平面垂直的判定；2、截面周长.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.在平面中，点，，若向量，则实数 _____．，因为，故，即，解得.考点：1、向量的坐标运算；2、向量垂直.10.若等差数列满足，，则______；______．______．甲、乙两从中各选，则所选的中恰有1相同的选法______. （用数字作答）13.如图，为圆上的两个点，为延长线上一点，为圆的切线，为切点. 若，，则______；______．平面中，记不等式组所表示的平面区域为.在映射的作用下，区域内的点对应的象为点. （1）在映射的作用下，点的原象是 ；（2）由点所形成的平面区域的面积为______．13分）已知函数，，且的最小正周期为.（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）求函数的单调增区间.16.（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组名同学乙组记录中有一个数模糊，无法确认，表示． （）求的值时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和数学期望所以的数学期望14分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3， H是CF的中点.（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求直线DH与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的大小.又因为 平面，所以 . 因为 ，所以平面. （Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，.设平面的法向量为，所以 即令，得. 由平面，得平面的法向量为，则. 由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为. 考点：1、直线和平面垂直的判定定理；2、直线和平面所成的角；3、二面角.18.（本小题满分13分）已知函数，其中.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）时，试确定函数的零点个数，并说明理由.【答案】（Ⅰ）的单调减区间为；单调增区间为；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得，，因为，所以的解集为，即单调递增区间；的解集为，即单调递减区间；（Ⅱ）函数，令，得，显然是一个零点，记，求导得，易知时递减；时递增，故的最小值，又，故，即，所以函数的零点个数1个.试题解析：（Ⅰ）解：因为，，所以．，得．变化时，和的变化情况如下：??故的单调减区间为；单调增区间为．14分）已知是抛物线的坐标为，直线的斜率为k， 为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线的下方，求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】考点：1、直线的方程；2、直线和抛物线的位置关系；3、导数的几何意义.20.（本小题满分13分）设无穷的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若对于任意不超过的正整数n，都有，证明：.（）（）的充分必要条件为.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案详见解析；（），所以 ，. 因为 ，所以 ， . 由 ，得 . 因为 ， 所以 ， 所以 ，即 . 考点：1、等比数列的通项公式；2、数列前n项和；3、充要条件. 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 1 1 每天发布最有价值的甲组乙组8901a822北京市西城区2015届高三上学期期末考试试题（数学 理）
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