“数形结合”在数学教学中的有效应用

    将“把握图形”的能力作为指导思想，贯穿在整个数学课程的始终，是设计几何课程的基本思想。数形结合是数学解题中常用的思想方法，它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
　　
　　必修课程的几何内容由三块内容组成，立体几何初步、解析几何初步、平面向量。立体几何初步放在必修部分，其重点是在于培养学生的空间想象能力，定性地把握图形；以三视图、直观图、长方体为载体，认识基本图形的点、线、面的基本关系和基本性质；立体几何初步的重点放在定性地理解图形的性质、位置关系，帮助学生建立起空间想象能力、直观判断能力。比较严格地论证和定量的分析图形放在选修2中。
　　
　　在教学中，三视图、直观图是定性认识、把握图形的一个很好的载体，要把握好“度”，无论是三视图还是直观图都会有很难的题目。以长方体为载体认识点、线、面位置关系，可以通过具体的模型过渡到抽象定义，可以从自然语言过渡到数学语言，逐步习惯用图形的语言进行表达和思考。多角度地认识图形，从整体到局部，从局部到整体，从外到里，从里到外，特别是从整体到局部，长方体是非常好的载体。简单地说，高中立体几何都可以体现在长方体中。教师可以设计一些可操作的案例，如切萝卜、切土豆等，这些操作可以帮助一些学生建立空间直观。在条件允许的情况下，可以利用信息技术，帮助学生建立空间直观概念。利用信息技术制作图形，既可以建立空间直观概念，也可以提高逻辑推理能力，制作一个图形，就是设计一个算法，让学生操作。教师要把这部分内容当作培养学生兴趣的一个载体，创造一些办法，让立体几何变得有趣一些。
　　
　　解析几何初步的重点是帮助学生理解解析几何的基本思想，“坐标系”是解析几何思想的主要组成部分，“数轴”是学习“坐标系”思想的第一个概念，它可以帮助学生刻画直线上点的位置，把直线上的点与数之间建立起联系。当学生在直线上确定了原点和单位长度，直线上的点与实数之间就建立起一一对应的关系。“直角坐标系”是在数轴的基础上形成的概念，它可以帮助学生用“数对”表示平面上的点，建立起“点”与“数对”之间的一一对应关系，形成一座代数与几何之间的桥梁。解析几何的另一个主要思想是建立方程与曲线之间的联系，在解析几何初步中，教材是以直线与圆为载体，帮助学生理解：在直角坐标系中，每一条直线可以用形如ax+by=c的方程表示，满足方程ax+by=c的解组成的图像是一条直线，对于圆也有同样的性质。这些内容可以帮助学生初步形成如下的观念：可以用“方程”表示“曲线”，反之，“曲线”是“方程”的图像。在此基础上，可以用代数的方法讨论几何的问题，可以用几何图形表示代数的性质。
　　
　　在解析几何的教学中，有两点值得注意，一个是不能忽视“可以用几何图形表示代数的性质”这一环节。能画图，一定要画图，头脑中有图形观念，对于思考解析几何问题是非常重要的。另一个是，在解析几何教学中，可以适当地与“函数”作一个呼应。y=ax+b是一个函数，同时，它又是一个二元一次方程，它们都反映了变量x与变量y之间的关系，它们的图像都是直线。实际上，每一个函数y=f(x)，都可以看作一个二元方程y-f(x)=0，这就是解析几何与“函数”呼应的表现。
　　
　　平面向量是几何的一个基本内容。它既是代数的对象，也是几何的对象。在代数的内容中，也会介绍向量。需要说明的是，很多内容究竟是属于代数还是属于几何，主要是看教学强调的是哪一方面。在向量教学中，需要注意以下几个方面：它是代数对象，代数的基本特征就是运算。向量作为一个新的运算对象，蕴含非常丰富的运算。不仅包括向量与向量的运算，还包括向量与数的运算，分配律是反映不同运算联系的法则，这是需要特别注意的；向量也是几何对象，这一点常常容易被忽视。点、直线、平面等都可以用向量表示，这是非常重要的。在选修2中的空间向量与立体几何的学习中，这是思考问题的基点，在大学数学学习中也会发挥更大的作用。对于每一个代数运算规律，都需要仔细解读它们的几何意义，这是掌握向量和利用向量的基础；向量是连接几何和代数的一座天然“桥梁”，它进一步地体现了解析几何的思想。向量是体会数形结合思想的重要载体，在将来的学习中，这座“桥”会发挥出更大的作用；向量与物理的联系是必须重视的。矢量是向量的背景，力、位移、速度、转动惯量等等都是认识向量的基础。在目前的中学数学教学中，数学和物理越离越远，更多的责任在数学教学。多提供一些有物理背景的数学问题，这应该成为数学教育工作者认真思考的问题。
　　
　　简而言之，数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。数形结合思想贯穿于高中数学的始终，高考试卷中利用数形结合思想解题的试题比比皆是，所以，应辅导学生加强这方面的学习和训练，这对打好数学基础、提高数学能力有着重要的作用。
　　
　　来源：高考学习网
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