逍遥学能 2014-05-13 10:18
重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用；了解映射概念的理解并能区别函数和映射．
考纲要求：①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；并了解映射的概念；
②会运用函数图像理解和研究函数的性质．
经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在［0，＋∞ )上图象与f（x）的图象重合.设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是
f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b） ②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）
③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a） ④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
当堂练习：
1．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当时是增函数，当时是减函数，则f(1)等于 （ ）
A．-3 B．13 C．7 D．含有m的变量
2．函数是（ ）
A． 非奇非偶函数 B．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数 C． 偶函数 D． 奇函数
3．已知函数(1), (2),(3)
(4),其中是偶函数的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x－1，则函数f（x－1）的图象为 （ ）
5．已知映射f:AB,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的,在B中和它对应的元素是,则集合B中元素的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．函数在区间[0, 1]上的最大值g(t)是 ．
7． 已知函数f(x)在区间上是减函数,则与的大小关系是 ．
8．已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且,则和的大小关系是 ．
9．如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_________对称．
10．点(x,y)在映射f作用下的对应点是,若点A在f作用下的对应点是B(2,0),则点A坐标是 ．
13. 已知函数,其中，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．
14．已知函数，常数。
（1）设，证明：函数在上单调递增；
（2）设且的定义域和值域都是，求的最大值．
13.(1)设f(x)的定义域为R的函数,求证: 是偶函数；
是奇函数.
(2)利用上述结论，你能把函数表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式．
14. 在集合R上的映射:,.
(1)试求映射的解析式;
(2)分别求函数f1(x)和f2(z)的单调区间;
(3) 求函数f(x)的单调区间.
参考答案：
经典例题：
解析：本题可采用三种解法.
方法一：直接根据奇、偶函数的定义．
由f（x）是奇函数得f（－a）=－f（a），f（－b）=－f（b），g（a）=f（a），g（b）=f（b），g（－a）=g（a），g（－b）=g（b）．
∴以上四个不等式分别可简化为①f（b）＞0；②f（b）＜0；③f（a）＞0；④f（a）＜0.
又∵f（x）是奇函数又是增函数，且a＞b＞0，故f（a）＞f（b）＞f（0）=0，从而以上不等式中①、③成立.故选C.
方法二：结合函数图象．
由下图，分析得f（a）=g（a）=g（－a）=－f（－a），f（b）=g（b）=g（－b）=－f（－b）．
从而根据所给结论，得到①与③是正确的.故选C．
方法三：利用间接法，即构造满足题意的两个函数模型f（x）=x，g（x）=|x|，取特殊值a、b.如a=2，b=1.可验证正确的是①与③，故选C．
答案：C
当堂练习：
B ; 2. D ; 3. B ;4. D ;5. A ; 6. ;7. ;
8. >;9. x=-1; 10. ();
11. 解: (1)函数，设时，
，所以在区间上单调递增；
(2)从而当x=1时，有最小值．
12. 解:（1）任取，，且，， 因为，
，，所以，即，故在上单调递增．
（2）因为在上单调递增，的定义域、值域都是，
即是方程的两个不等的正根有两个不等的正根．
所以，
∴，
∴时，取最大值．
13.解: (1)利用定义易证之； (2)由(1)得=．
14. 解: (1)； (2)当时， f1(x)单调递减， 当时， f1(x)单调递增； 当时， f2(z) 单调递减， 当时， f1(x)单调递增．
(3) 当和时， f(x)分别单调递减；
当和分别单调递增．