逍遥学能 2016-02-16 10:12
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2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1、已知集合A=｛xx2－2x＞0｝，B=｛x－5＜x＜5｝，则 ( )
A、A∩B= B、A∪B=R C、B⊆AD、A⊆B
2、若复数z满足 (3－4i)z＝4＋3i ，则z的虚部为()
A、－4（B）－45（C）4（D）45
3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ()
A、简单随机抽样B、按性别分层抽样C、按学段分层抽样D、系统抽样
4、已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()
A、y=±14x （B）y=±13x（C）y=±12x （D）y=±x
5、执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于 ()
A、[－3,4]
B、[－5,2]
C、[－4,3]
D、[－2,5]
6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8c，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6c，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )
A、500π3c3B、866π3c3C、1372π3c3D、2048π3c3
7、设等差数列{an}的前n项和为Sn，S－1＝－2，S＝0，S＋1＝3，则＝ ( )
A、3 B、4 C、5 D、6
8、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )
A、18+8π B、8+8π
C、16+16π D、8+16π
9、设为正整数，(x＋y)2展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则＝ ( )
A、5 B、6C、7D、8
10、已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ()
A、x245＋y236＝1B、x236＋y227＝1C、x227＋y218＝1D、x218＋y29＝1
11、已知函数f(x)＝－x2＋2x x≤0ln(x＋1) x＞0，若 f(x)≥ax，则a的取值范围是()
A、（－∞，0] B、（－∞，1] C、[－2，1] D、[－2，0]
12、设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…
若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn＋an2，cn＋1＝bn＋an2，则()
A、{Sn}为递减数列B、{Sn}为递增数列
C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．题：本大题共四小题，每小题5分。
13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b•c=0，则t=_____.
14、若数列{an}的前n项和为Sn＝23an＋13，则数列{an}的通项公式是an=______.
15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______
16、若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3 ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°
(1)若PB=12，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA
18、（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°.
（Ⅰ）证明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。
19、（本小题满分12分）
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。
(20)(本小题满分12分)
已知圆：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求AB.
（21）（本小题满分共12分）
已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2
（Ⅰ）求a，b，c，d的值
（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kgf(x)，求k的取值范围。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。
（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为x=4+5costy=5+5sint（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝2x－1＋2x＋a，g(x)=x+3.
（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－a2，12)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.