浙江省舟山市嵊泗中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学（

高二上学期第一次月考数学（理）试题（4-8班）一.选择题（每小题5分，共50分）1．两条异面直线所成角的范围是（　　 ）A． B. C. D.2．一条直线上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(　 　)A．lα B．lα C．l与α相交但不垂直 D．lα或lα3．如图所示，已知PA垂直于ABC所在平面，且ACB＝90°，连结PB、PC，则图形中互相垂直的平面有(　 　)A．一对 B．两对 C．三对 D．四对．如图在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC＝90°，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)A．直线AB上 　　B．直线BC上C．直线AC上 　D．ABC内部．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为＝(　 　)A. B. C. D.第3题图 第4题图 第5题图6．有以下四个命题：其中真命题的序号是 （　 ）①若且，则； ②若且，则；③若且，则；④若且，则．①② ③④ ①④ ②③7．如图：四面体P－ABC为正四面体，M为PC的中点，则BM与AC所成的角的余弦值为(　　)A. B. C. D．08．△ABC两直角边分别为3、4，，则点P 到的距离是（） A． B． C． D．2 9．如图，四面体的六条边均相等，分别是的中点，则下列四个结论中不成立的是 ( ) A．平面平面 B．平面C．//平面 D．平面平面10．正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为(　　)A.＋2 B.＋C.＋ D.二.填空题（每小题4分，共28分）11．已知两平面的法向量分别为m＝(1,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角大小为________．．正四面体ABCD棱长为2，E、F分别为BC、AD中点，则EF的长为________．．如图，平面ABC平面BDC，BAC＝BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是________．．，这个长方体对角线的长是 ．16．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：AB⊥EF；AB与CM所成的角为60°；EF与MN是异面直线；MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．18、（本小题14分）在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(见下图). 求B、D间的距离．19、（本小题14分）如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、SC的中点．求证：EF平面SAD.如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB、BC、AD、DC分别与平面α相交于点E、G、H、F.求证：E、F、G、H四点共线(在同一条直线上)．PA=AD=2，BD=.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.22、（本小题15分）如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．(1)求证：平面PCD平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)求四棱锥P-ACDE的体积．60°或120° ______ 13. a 14. 15. ______ 16. __①③_______17. ____①③④?②或解析：ACD＝90°， ?＝0.同理?＝0. AB和CD成60°角，〈，〉＝60°或120°. ＝＋＋， 2＝2＋2＋2＋2?＋2?＋2?＝2＋2＋2＋2?＝3＋2×1×1×cos 〈，〉＝ ＝2或，即B、D间的距离为2或.19、（本小题14分）如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、SC的中点．求证：EF平面SAD.证明：法一：作FGDC交SD于点G，则G为SD的中点．连接AG，FG?CD，又CD?AB，且E为AB的中点，故FG?AE，四边形AEFG为平行四边形． EF∥AG，又 AG?平面SAD，EF?平面SAD， EF∥平面SAD.法二：取线段CD的中点M，连接ME、MF， E、F分别为AB、SC的中点， ME∥AD，MFSD，又 ME，MF?平面SAD， ME∥平面SAD，MF平面SAD， ME、MF相交， 平面MEF平面SAD， EF?平面MEF， EF∥平面SAD.PA=AD=2，BD=.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.方法一：证：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC. ∵PA⊥平面ABCD，BD(平面ABCD，∴BD⊥PA . 又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面PAC. 解：（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD， ∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角. 又∵PA=AD，∴∠PDA=450 . （Ⅲ）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD= ，设C到面PBD的距离为d，由，有， 即，得 方法二：证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴ ∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得. 设平面PCD的法向量为，则，即，∴ 故平面PCD的法向量可取为 ∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量. 设二面角P—CD—B的大小为(，依题意可得，∴( = 450 . （Ⅲ）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，则，即，∴x=y=z，故平面PBD的法向量可取为. ∵，∴C到面PBD的距离为22、（本小题15分）如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．(1)求证：平面PCD平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)求四棱锥P-ACDE的体积．解析：(1)在ABC中，因为ABC＝45°，BC＝4，AB＝2，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB?BC?cos 45°＝8，因此AC＝2. 故BC2＝AC2＋AB2，所以BAC＝90°.又PA平面ABCDE，ABCD，所以CDPA，CDAC.又PA、AC平面PAC，且PA∩AC＝A，所以CD平面PAC，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAC.(2)法一：因为PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2，因此PB＝＝4.又ABCD.所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离．由于CD平面PAC，在RtPAC中，PA＝2，AC＝2，所以PC＝4.故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离．所以B到平面PCD的距离为h＝2.设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，又θ，所以θ＝.法二：由(1)知AB、AC、AP两两相互垂直，分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2，又AC＝2，因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0,0,2)，因为ACED，CDAC，所以四边形ACDE是直角梯形．因为AE＝2，ABC＝45°，AEBC，所以BAE＝135°，因此CAE＝45°，故CD＝AE?sin 45°＝2×＝，所以D(－，2，0)．因此＝(0，－2，2)，＝(－，0,0)，设m＝(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，则m?＝0，m?＝0，解得x＝0，y＝z，取y＝1，得m＝(0,1,1)，又＝(－2，0,2)，设θ表示向量与平面PCD的法向量m所成的角，则cos θ＝＝，所以θ＝，因此直线PB与平面PCD所成的角为.(3)因为ACED，CDAC，所以四边形ACDE是直角梯形．因为AE＝2，ABC＝45°，AEBC，所以BAE＝135°，因此CAE＝45°，故CD＝AE?sin 45°＝2×＝，ED＝AC－AE?cos 45°＝2－2×＝，所以S四边形ACDE＝×＝3.又PA平面ABCDE，所以VP-ACDE＝×3×2＝2.！第10页 共11页学优高考网！！xCBAPDzyBCEFDAP浙江省舟山市嵊泗中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学（理）试题（4-8班）
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