逍遥学能 2015-12-22 10:49
2015中考分类圆解析
一．选择题
（2015•嘉兴）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
考点：中心对称图形．.
分析：根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．
解答：解：第一个图形是中心对称图形，
第二个图形不是中心对称图形，
第三个图形是中心对称图形，
第四个图形不是中心对称图形，
所以，中心对称图有2个．
故选：B．
点评：本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
1.（菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x经过点A,作AB⊥x轴于点B，将?ABO绕点B逆时针旋转60°得到?CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为A
1.（福建龙岩）如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（ ）
A．2周 B．3周 C．4周 D．5周
2.（兰州）如图，经过原点O的⊙P与 、 轴分别交于A、B两点，点C是劣弧 上一点，则∠ACB=
A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定
3.（兰州）如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为
A. B. C. D.
4.(广东) 如题9图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】D.
【解析】显然弧长为BC＋CD的长，即为6，半径为3，则 .
5.（广东梅州）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙Or切线，A为切点，BC经过圆心.若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C． 40° D．50°
考点：切线的性质．.
分析：连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
解答：解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°．
故选：D．
点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．
6.（汕尾）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心。若∠B=20°，则∠C的大小等于
A.20° B.25° C.40° D.50°
7.（贵州安顺）如上图⊙O的直径 垂直于弦 ，垂足是 ， ， ， 的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
8.（河南）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，… 组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（ ）
A.（2014,0） B.（2015，-1）
C. （2015,1） D. （2016,0）
9.（湖南常德）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，
则∠BCD的度数为：
A、50° B、80° C、100° D、130°
【解答与分析】圆周角与圆心角的关系，及圆内接四边形的对角互补
：答案为D
10.（常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似。如图，如果扇形AOB与扇形 是相似扇形，且半径 ( 为不等于0的常数)。那么下面四个结论：
①∠AOB＝∠ ；②△AOB∽△ ；③ ；
④扇形AOB与扇形 的面积之比为 。成立的个数为：
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【解答与分析】这是一个阅读，扇形相似的意义理解，由弧长公式＝ 可以得到：
① ②③正确，由扇形面积公式 可得到④正确
②
11.（湖南株洲）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是
A、22° B、26° C、32° D、68°
【试题分析】
本题考点为：通过圆心角∠BOC＝2∠A＝136°，再利用等腰三角形AOC求出∠OBC的度数
答案为：A
12（黔西南州）如图2，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于
A．150° B．130° C．155° D．135°
13.（青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
14.（临沂）如图A，B，C是 上的三个点，若 ，则 等于
(A) 50°. (B) 80°.
(C) 100°. (D) 130°.
15（上海）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A、AD＝BD； B、OD＝CD；
C、∠CAD＝∠CBD； D、∠OCA＝∠OCB．
【答案】B
【解析】因OC⊥AB，由垂径定理，知AD＝BD，若OD＝CD，则对角线互相垂直且平分，所以，OACB为菱形。
16（深圳）如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20o,则∠DBA为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】AB为⊙O直径，所以，∠ACB=90o，∠DBA＝∠DCA＝
17（成都）如图，正六边形 内接于圆 ，半径为 ，则这个正六边形的边心距 和
弧 的长分别为
（A） 、 （B） 、
（C） 、 （D） 、
【答案】：D
【解析】在正六边形中，我们连接 、 可以得到 为等边三角形，边长等于半径 。因为 为边心距，所以 ，所以，在边长为 的等边三角形中，边上的高 。弧 所对的圆心角为 ，由弧长计算公式： ，选D。
18（泸州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为
A. 65° B. 130° C. 50° D. 100°
考点：切线的性质．.
分析：由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
解答：解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
则∠P=360°?（90°+90°+130°）=50°．
故选C．
点评：本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
19(四川自贡) 如图， 是⊙O的直径，弦 ,则
阴影部分的面积为 （ ）
A. B. C. D.
考点：圆的基本性质、垂径定理，勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等.
分析：本题抓住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求.根据圆是轴对称图形和垂径定理，利用题中条件可知 是弦 的中点, 是弧 的中点；此时解法有三：
解法一，在弓形CBD中，被EB分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相等的，所以阴影部分的面积之和转化到扇形COB来求；解法二，连接OD,易证△ ≌△ ，所以阴影部分的面积之和转化到扇形BOD来求；解法三，阴影部分的面积之和是扇形COD的面积的一半.
略解：
∵ 是⊙O的直径，
∴ 是弦 的中点, 是弧 的中点（垂径定理）
∴在弓形CBD中，被EB分开的上下两部分的面积是相等的(轴对称的性质)
∴阴影部分的面积之和等于扇形COB的面积.
∵ 是弦 的中点， ∴ ∵ ∴
∴ , . 在Rt△ 中，根据勾股定理可知：
即 .
解得: ; 扇形COB = .即 阴影部分的面积之和为 .故选D.
20.（云南）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结 论中不成立的是( )
A．∠A?∠D B．CE?DE C．∠ACB?90° D．CE?BD
21（杭州）圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=( )
A. 20° B. 30° C. 70° D. 110°
【答案】D．
【考点】圆内接四边形的性质.
【分析】∵圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，
∴根据圆内接四边形互补的性质，得∠C=110°.
故选D．
22（嘉兴）.如图，中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则?C的
半径为（▲）
（A）2.3 （B）2.4
（C）2.5 （D）2.6
考点：切线的性质；勾股定理的逆定理．.
分析：首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S△ABC= AC•BC= AB•CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．
解答：解：在△ABC中，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，
∴∠C=90°，
如图：设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC= AC•BC= AB•CD，
∴AC•BC=AB•CD，
即CD= = = ，
∴⊙C的半径为 ，
故选B．
点评：此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．
二．填空题
1.（安顺）如图，在□ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是_________（结果保留π）．3? π
2.（孝感）已知圆锥的侧面积等于 cm2，母线长10cm，则圆锥的高是 cm．8
3.（常德）一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是 （结果保留π）。
【解答与分析】此题考的是圆锥侧面积的求法公式：
4. （常德）已知A点的坐标为（－1,3），将A点绕坐标原点顺时针90°，
则点A的对应点的坐标为
【解析】此题考点为坐标点的变换规律，作出草图如右
可知△BCO≌△EDO，故可知BC＝OE，OC＝DE
答案为：（3,1）
5.（湖南衡阳）圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留 ）．
6. （2015•益阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则 的长为 ．
考点： 弧长的计算；正多边形和圆．
分析： 求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．
解答： 解：∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB=360°× =60°，
的长为 = ．
故答案为： ．
点评： 此题将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质．
7.（江西）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为 ．
解析：∵∠A=50°, ∴∠BOC=100°, ∴∠BOD=80°, ∴∠ADC=∠B+∠BOD=30°+ 80°=110°
8.（呼和浩特）一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为__________.12π
9.（黔西南州）如图6，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则 ∠B= ．40°
10.（黔西南州）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是 ．
11.（黔西南州）如图8，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O 的半径为 ．
13．12.（青岛）如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E=30°，则∠F= ．
14.（东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为 0.8 m．
15（泸州）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 .
考点：圆锥的计算．.
分析：易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
解答：解：扇形的弧长= =4π，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．
故答案为：2．
点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
16.（四川自贡）已知， 是⊙O的一条直径 ，延长 至 点，使 , 与⊙O相切于 点，若 ,则劣弧 的长为 .
考点：圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股
定理、弧长公式等.
分析：本题劣弧 的长关键是求出圆的半径和劣弧 所对的
圆心角的度数.在连接OD后，根据切线的性质易知 ,圆的半径和圆心角的度数可以通过Rt△ 获得解决.
略解：连接半径OD.又∵ 与⊙O相切于 点 ∴ ∴
∵ ∴ ∴ 又
∴ ∴在Rt△ ∴
∴ ∴在Rt△ 根据勾股定理可知： ∵
∴ 解得：
则劣弧 的长为 . 故应填
17（绍兴）．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是__ ____（结果保留 ）
三．解答题
1.（福建龙岩）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD=OA，OC= .
求证：CD是⊙O的切线.
证明：连接OD，由题意可知CD=OD=OA= AB=2
∴OD2+CD2=OC2
∴△OCD为直角三角形，则OD⊥CD
又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线
2.(广东 ) ⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过 的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG， CP，PB.
(1) 如题24?1图；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
(2) 如题24?2图，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
(3) 如题24?3图；取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.
【解析】(1) ∵AB为⊙O直径， ，
∴PG⊥BC，即∠ODB=90°，
∵D为OP的中点，
∴OD= ，
∴cos∠BOD= ，
∴∠BOD=60°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ODB，
∴AC∥PG，
∴∠BAC=∠BOD=60°；
(2) 由（1）知，CD=BD，
∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，
∴△PDB≌△CDK，
∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，
∵∠AOG=∠BOP，
∴AG=BP，
∴AG=CK
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
又∠G=∠OBP，
∴AG∥CK，
∴四边形AGCK是平行四边形；
(3) ∵CE=PE，CD=BD，
∴DE∥PB，即DH∥PB
∵∠G=∠OPB，
∴PB∥AG，
∴DH∥AG，
∴∠OAG=∠OHD，
∵OA=OG，
∴∠OAG=∠G，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH，
又∠ODB=∠HOP，OB=OP，
∴△OBD≌△HOP，
∴∠OHP=∠ODB=90°，
∴PH⊥AB.
3.（广东梅州）如图，直线l经过点A（4，0），B（0，3）．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．
考点：切线的性质；待定系数法求一次函数解析式．.
分析：（1）把点A（4，0），B（0，3）代入直线l的解析式y=kx+b，即可求出结果．
（2）先画出示意图，在Rt△ABM中求出sin∠BAM，然后在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AM，继而可得点M的坐标．
解答：解：（1）∵直线l经过点A（4，0），B（0，3），
∴设直线l的解析式为：y=kx+b，
∴
∴ ．
∴直线l的解析式为：y=? x+3；
（2）∵直线l经过点A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
①如图所示，此时⊙M与此直线l相切，切点为C，
连接MC，则MC⊥AB，
在Rt△ABM中，sin∠BAM= = ，
在Rt△AMC中，∵sin∠MAC= ，
∴AM= = =4，
∴点M的坐标为（0，0）．
②此时⊙M'与此直线l相切，切点为C'，
连接M'C'，则M'C'⊥AB，
∴∠M′C′B=∠MCB=90°，
在△M′C′B与△CMB中，
，
∴BM'=BM=3，
∴点M'的坐标为（0，6）．
综上可得：当⊙M与此直线l相切时点M的坐标是（0，0），（0，6）．
点评：本题考查了用待定系数法求函数的解析式，切线的性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般．
4.(广东梅州 ) 在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）
（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1= CE1，且BD1⊥CE1；
（3）①设BC的中点为M，则线段PM的长为 ；②点P到AB所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）
考点：几何变换综合题．.
分析：（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；
（2）根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案；
（3）①直接利用直角三角形的性质得出PM= BC得出答案即可；
②首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．
解答：解：（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，
∴AE=AD=2，
∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），
∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，
∴BD1= =2 ，E1C= =2 ；
故答案为：2 ，2 ；
（2）证明：当α=135°时，如图2，
∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，
∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，
在△D1AB和△E1AC中
∵ ，
∴△D1AB≌△E1AC（SAS），
∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，
记直线BD1与AC交于点F，
∴∠BFA=∠CFP，
∴∠CPF=∠FAB=90°，
∴BD1⊥CE1；
（3）解：①∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中点为M，
∴PM= BC，
∴PM= =2 ，
故答案为：2 ；
②如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，
∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，
当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1= =2 ，
故∠ABP=30°，
则PB=2+2 ，
故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+ ．
故答案为：1+ ．
点评：此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键．
5.（安顺）如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。
(1)求证：直 线EF是⊙O的切线；
(2)求 的值。
（1）（6分）证明：连接OD、CD。
∵BC是直径，∴CD⊥AB
∵AB=BC. ∴D是AB的中点。又O为CB的中点，
∴OD∥EF，EF,是⊙O的切线。
（2）（6分）解：连BG。∵BC是直径，∴∠BGC=90°。
在Rt△BCD中， .
∵ .
∵BG⊥AC,DF⊥AC
∴BG∥EF, ∴∠E=∠CBG,
∴
6.（河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上
不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使
PC=PB，D是AC的中点，连接PD，PO.
（1）求证：△CDP∽△POB；
（2）填空：
① 若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 ；
② 连接OD，当∠PBA的度数为 时，四边形BPDO是菱形.
(1)略；（2）① 最大面积为4. ② 60°
7.（湖北滨州）如图,⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
（1）求弧BC的长；
（2）求弦BD的长.
解：（1）连接OC. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ABC中，
∵cos∠BAC= ,∴∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC =120°.
∴弧BC的长为 .
（2）连接OD.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD,
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD=45°.
在Rt△ABD中，BD= .
（其它解法，酌情判分）
8.（常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长。
【解答与分析】本题考点，主要是切线的判定，中位线的性质，以及特殊直角三角形的边角关系和勾股定理。
证明：（1）连接FO
易证OF∥AB
∵AC⊙O的直径
∴CE⊥AE
∵OF∥AB
∴OF⊥CE
∴OF所在直线垂直平分CE
∴FC＝FE，OE＝OC
∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠0CE
∵Rt△ABC
∴∠ACB＝90°
即：∠0CE＋∠FCE＝90°
∴∠0EC＋∠FEC＝90°
即：∠FEO＝90°
∴FE为⊙O的切线
（2）
∵⊙O的半径为3
∴AO＝CO＝EO＝3
∵∠EAC＝60°，OA＝OE
∴∠EOA＝60°
∴∠COD＝∠EOA＝60°
∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3
∴CD＝
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
CD＝ ，AC＝6
∴AD＝
9.（湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于 轴对称的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，
点C2在AB上．
①旋转角为多少度？
②写出点B2的坐标．
解：（1）△ABC关于 轴对称的△A1B1C1如图所示；
（2）①由图可知，旋转角为90°；
②点B2的坐标为（6，2）．
10.（湖南衡阳）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
解：（1）证明：连接OD，∵点C、D为半圆O的三等分点，
∴∠BOC＝ ∠BOD
又∠BAD＝ ∠BOD
∴∠BOC＝∠BAD
∴AE∥OC
∵AD⊥EC
∴OC⊥EC
∴CE为⊙O的切线．
（2）四边形AOCD是菱形；理由如下：
∵点C、D为半圆O的三等分点
∴∠AOD＝∠COD＝60°
∵OA＝OD＝OC
∴△AOD和△COD都是等边三角形
∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD
∴四边形AOCD是菱形．
11.（无锡）已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45º．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．
解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．
∵BC＝6 cm，AC＝8cm，∴AB＝10cm．∴OB＝5cm．
连OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45 º．∴∠BOD＝90º． ∴BD＝OB2＋OD2＝52cm．
（2）S阴影＝90360π•52－12×5×5＝25π－504cm2．
12（江西）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)．
(1)如图1，AC＝BC；
(2)如图2，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．
解析：如右图所示.
图1，∵AC=BC,∴ ,
∴点C是 的中点，连接CO，
交AB于点E，由垂径定理知，
点E是AB的中点，
延长CE交⊙O于点D，
则CD为所求作的弦；
图2，∵l切⊙O于点P, 作射线PO，交BC于点E，则PO⊥l, ∵l∥BC , ∴PO⊥BC, 由垂径定理知，点E是BC的中点，连接AE交⊙O于F，则AF为所求作的弦.
13.（呼和浩特）)如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC
(1) 求证：PA是⊙O的切线；
(2) 连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为BC⌒的中点，且∠DCF=∠P，求证：BDPD = FDED = CDAD .
证明：(1) 连接CM
∵∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC
∴∠PAC=∠M
∵AM为直径
∴∠M+∠MAC=90°
∴∠PAC+∠MAC=90°
即：∠MAP=90°
∴MA⊥AP
∴PA是⊙O的切线
(2) 连接AE
∵M为BC⌒中点，AM为⊙O的直径
∴AM⊥BC
∵AM⊥AP
∴AP∥BC
∴△ADP∽△CDB
∴BDPD = CD AD
∵AP//BC
∴∠P=∠CBD
∵∠CBD=∠CAE
∴∠P=∠CAE
∵∠P=∠DCF
∴∠DCF=∠CAE
∵∠ADE=∠CDF
∴△ADE∽ △CDF
∴CDDA = FDED
∴BDPD = FDED = CDAD
14.（黔西南州）如图9所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
（1）求证：直线PB与⊙O相切
（2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC=4.
求弦CE的长．
（1）证明:过点O作OD⊥PB,连接OC.
∵AP与⊙O相切, ∴OC⊥AP.
又∵OP平分∠APB, ∴OD=OC.
∴PB是⊙O的切线.
（2）解:过C作CF⊥PE于点F.
在Rt△OCP中，OP=
∵
∴
在Rt△COF中，
∴
在Rt△CFE中，
14（东营）已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC•AD=AB•AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．
（1）证明：连接DE
∵AE是直径
∴∠ADE=90o
∴∠ADE=∠ABC
在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠A是公共角
故△ADE∽△ABC………………………………2分
则 ，即AC•AD=AB•AE…………4分
（2）解：连接OD
∵BD是圆O的切线
则OD⊥BD……………………………………………………………………5分
在Rt△OBD中，OE=BE=OD
∴OB=2OD
∴∠OBD=30o…………………………………………………………………6分
同理∠BAC=30o………………………………………………………………7分
在Rt△ABC中AC=2BC=2×2=4……………………………………………8分
15（泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F。
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE=6，CD=5，求OF的长。
考点：切线的性质；平行四边形的判定．.
分析：（1）根据切线的性质证明∠EAC=∠ABC，根据等腰三角形等边对等角的性质和等量代得到∠EAC=∠ACB，从而根据内错角相等两直线平行的判定得到AE∥BC，结合已知AB∥CD即可判定四边形ABCD是平行四边形；
（2）作辅助线，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD于点N，M，根据切割线定理求得EC=4，证明四边形ABDC是等腰梯形，根据对称性、圆周角定理和垂径定理的综合应用证明△OFH∽△DMF∽△BFN，并由勾股定理列式求解即可．
解答：（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，
∴∠EAC=∠ABC，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，
∵AE是⊙O的切线，
由切割线定理得，AE2=EC•DE，
∵AE=6，CD=5，
∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去负数），
由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4，
又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，
设OF=x，OH=Y，FH=z，
∵AB=4，BC=6，CD=5，
∴BF= BC?FH=3?z，DF=CF= BC+FH=3+z，
易得△OFH∽△DMF∽△BFN，
∴ ， ，
即 ，①
②，
①+②得： ，
①÷②得： ，
解 得 ，
∵x2=y2+z2，
∴ ，
∴x= ，
∴OF= ．
点评：本题考查了切线的性质，圆周勾股定理，等腰三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，垂径定理，相似判定和性质，勾股定理，正确得作出辅助线是解题的关键．
16. （杭州）如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.
【答案】解：∵⊙O的半径为4，点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，点B在⊙O上， OA=8，
∴ ，即 .
∴ .∴点B的反演点B′与点B重合.
如答图，设OA交⊙O于点M，连接B′M，
∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等边三角形.
∵ ，∴B′M⊥OM.
∴在 中，由勾股定理得 .
【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理.
【分析】先根据定义求出 ，再作辅助线：连接点B′与OA和⊙O的交点M，由已知∠BOA=60°判定△OB′M是等边三角形，从而在 中，由勾股定理求得A′B′的长.
17 （2015年浙江丽水8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O 的切线DF，交AC于点F.
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积.
【答案】解：（1）证明：如答图，连接OD，
∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB.
∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ODB=∠ACB.∴OD∥AC.
∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD
∴DF⊥AC.
（2）如答图，连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°. ∴∠BAC=45°.
∵OA=OB，∴∠AOE=90°.
∵⊙O的半径为4，∴ .
【考点】等腰三角形的性质；平行的判定；切线的性质；三角形内角和定理；扇形和三角形面积的计算；转换思想的应用.
【分析】（1）要证DF⊥AC，由于DF是⊙O的切线，有DF⊥OD，从而只要OD∥AC即可，根据平行的判定，要证OD∥AC即要构成同位角或内错角相等，从而需作辅助线连接OD，根据等腰三角形等边对等角的性质由∠ABC=∠ODB和∠ABC=∠ACB即可得.
（2）连接OE，则 ，证明△AOE是等腰直角三角形即可求得 和 .