厦门市2013年中考数学试卷（附答案）

2013年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试
数 学
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
准考证号 姓名 座位号
注意事项：
1．全卷三大题，26小题，试卷共4页，另有答题卡．
2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分．
3．可直接用2B铅笔画图．
一、（本大题有7小题，每小题3分，共21分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．下列计算正确的是
A．－1＋2＝1． B．－1－1＝0． C．(－1)2＝－1． D．－12＝1．
2．已知∠A＝60°，则∠A的补角是
A．160°． B．120°．
C．60°． D．30°．
3．图1是下列一个立体图形的三视图，则这个立体图形是
A．圆锥． B．球．
C．圆柱． D．正方体．
4．掷一个质地均匀的正方体骰子，当骰子停止后，朝上
一面的点数为5的概率是
A．1． B．15． C．16． D．0．
5．如图2，在⊙O中，?AB＝?AC，∠A＝30°，则∠B＝
A．150°． B．75°．
C．60°． D．15°．
6．方程2x -1＝3x的解是
A．3． B．2．
C．1． D．0．
7．在平面直角坐标系中，将线段OA向左平移2个单位，平移后，点O，A的对应点分别为点O1，A1.若点O（0，0），A（1，4），则点O1，A1的坐标分别是
A．（0，0），（1，4）． B．（0，0），（3，4）．
C．（－2，0），（1，4）． D．（－2，0），（－1，4）．
二、题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
8．－6的相反数是 ．
9．计算：m2?m3＝ ．
10．式子x－3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围
是 ．
11．如图3，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，
DE＝2，则BC＝ ．
12．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩/米1.501.601.651.701.751.80
人数 2 3 3 2 4 1
则这些运动员成绩的中位数是 米．
13．x2－4x ＋4= ( )2．
14．已知反比例函数y＝m－1x的图象的一支位于第一象限，
则常数m的取值范围是 ．
15．如图4，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，
F分别是线段AO，BO的中点．若AC＋BD＝24厘米，
△OAB的周长是18厘米，则EF＝ 厘米．
16．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安 全区域．甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为0.01米/秒，
步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保
甲工人的安全，则导火线的长要大于 米．
17．如图5，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，3），
点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M
在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，且则点M
的坐标是 ( ， ) ．
三、解答题（本大题有9小题，共89分）
18．（本题满分21分）
（1）计算：5a＋2b＋(3a—2b)；
（ 2）在平面直角坐标系中，已知点A（－4,1），
B（－2,0），C（－3, －1）,请在图6上xkb1.com
画出△ABC，并画出与△ABC关于
原点O对称的图形；
（3）如图7，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，
∠ABC＝50°. 求证：AB∥CD.
19．（本题满分21分）
（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如下表所示：
郊县人数/万人均耕地面积/公顷
A20 0.15
B 5 0.20
C 10 0.18
求甲市 郊县所有人口的人均耕地面积（精确到0.01公顷）；
（2）先化简下式，再求值：
2x2＋y2x＋y － x2＋2y2x＋y，其中x＝2＋1， y＝22—2；
（3）如图8，已知A，B，C，D 是 ⊙O上的四点，
延长DC，AB相交于点E．若BC＝BE．
求证：△ADE是等腰三角形.
20．（本题满分6分）有一个质地均匀的正12面体，12个面上分别写有1~12这12个整数（每个面上只有一个整数且每个面上的整数互不相同）.投掷这个正12面体一次，记事件A为 “向上一面的数字是2或3的整数倍”，记事件B为 “向上一面的数字是3的整数倍”，请你判断等式“P(A)＝12＋P(B)”是否成立，并说明理由.
21.（本题满分6分）如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC，
对角线AC，BD相交于点E，若AE＝4，CE＝8，DE＝3，
梯形ABCD的高是365，面积是54.求证：AC⊥BD.
22．（本题满分6分）一个有进水管与出水管的容器，
从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的
9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是
常数.容器内的水量y（单位：升）与时间
x（单位：分）之间的关系如图10所示.
当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围.
23．（本题满分6分）如图11，在正方形ABCD中，点G是边
BC上的任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于
点F.在线段AG上取点H，使得AG＝DE＋HG，连接BH.
求证：∠ABH＝∠CDE.
24．（本题满分6分）已知点O是坐标系 的原点，直线y＝－x＋m＋n与双曲线y＝1x交于两个不同的点A（m，n）(m≥2)和B（p，q）,直线y＝－x＋m＋n与y轴交于点C ，求△OBC的面积S的取值范围．
25．（本题满分6分）如图12，已知四边形OABC是菱形，
∠O＝60°，点M是OA的中点.以点O为圆心，
r为半径作⊙O分别交OA，OC于点D，E，
连接BM.若BM＝7， ?DE的长是3π3．
求证：直线BC与⊙O相切.
26．（本题满分11分）若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且x1＋x2
＝2k（k是整数），则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”.如方程x2－6x－27＝0，
x2－2x－8＝0，x2＋3x－274＝0，x2＋6x－27＝0， x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”.
（1）判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由.
2013年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试
数学参考答案及评分标准
一、（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
题号1234567
选项ABCCBAD
二、题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
8. 6 9. m5 10.x≥3 11. 6
12. 1.65 13. x—2 14. m＞1
15. 3 16. 1.3 17.（1，3）
三、解答题（本大题共9小题，共89分）
18．（本题满分21分）
（1）解： 5a＋2b＋(3a—2b)
＝5a＋2b＋3a—2b ……………………………3分
＝8a. ……………………………7分
（2）
解： 正确画出△ABC ……………………………10分
正确画出△DEF ……………………………14分
（3）证明1：∵∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝130°. …………16分
∵∠ABC＝50°，
∴∠BCD＋∠ABC＝180°. …………18分
∴AB∥CD. …………21分
证明2：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠CAB＝180°—50°—60°
＝70°. ………………16分
∵∠ACD＝70°，
∴∠CAB＝∠ACD. ………………18分
∴AB∥CD. ………… ……21分
19．（本题满分21分）
（1）解： 20×0.15＋5×0.20＋10×0.1820＋5＋10 ……………………………5分
≈0.17（公顷/人）. ……………………………6分
∴ 这个市郊县的人均耕地面积约为0.17公顷. ……………………7分
（2）解： 2x2＋y2x＋y — 2y2＋x2x＋y
＝x2—y2x＋y ……………………………9分
＝x－y. ……………………………11分
当 x＝2＋1， y＝22—2时，
原式＝ 2＋1－(22—2) ……………………………12分
＝3—2. ……………………………14分xkb1.com
（3）证明： ∵BC＝BE，
∴∠E＝∠BCE. ……………………………15分
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠DCB＝180°. ……………17分
∵∠BCE＋∠DCB＝180°,
∴∠A＝∠BCE. ………………18分
∴∠A＝∠E. ………………19分
∴ AD＝DE. ………………20分
∴△ADE是等腰三角形. ………………21分
20．（本题满分6分）
解： 不成立 ……………………………1分
∵ P(A)＝812＝23， ……………………………3分
又∵P(B) ＝412＝13， ……………………………5分
而12＋13＝56≠23.
∴ 等式不成立. ……………………… ……6分
21．（本题满分6分）
证明1：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠ EBC，∠DAE＝∠ECB.
∴△EDA∽△EBC. ……………………………1分
∴ ADBC＝AEEC＝12. ……………………………2分
即：BC＝2AD. ………………3分
∴54＝12×365( AD＋2AD)
∴AD＝5. ………………4分
在△EDA中，
∵DE＝3，AE＝4，
∴DE2＋AE2＝AD2. ……………………………5分
∴∠AED＝90°.
∴ AC⊥BD. ……………………………6分
证明2： ∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠EBC，∠DAE＝∠ECB.
∴△EDA∽△EBC. ……………………………1分
∴DEBE＝AEEC. ……………………………2分
即3BE＝48.
∴BE＝6. ……………………………3分
过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F.
由于AD∥BC，
∴四边形ACFD是平行四边形.
∴DF＝AC＝12，AD＝CF.
∴BF＝BC＋AD.
∴54＝12×365×BF.
∴BF＝15. ……………………………4分
在△DBF中，
∵DB＝9，DF＝12，BF＝15，
∴DB2＋DF2＝BF2. ……………………………5分
∴∠BDF＝90°.
∴DF⊥BD.
∴AC⊥BD. ……………………………6分
22．（本题满分6分）
解1： 当0≤x≤3时，y＝5x. ……………………………1分
当y＞5时，5x＞5， ……………………………2分
解得 x＞1.
∴1＜x≤3. ……………………………3分
当3＜x≤12时，
设 y＝kx＋b.
则15＝3k＋b，0＝12k＋b.解得k＝－53，b＝20.
∴ y＝－53x＋20. ……………………………4分
当y＞5时，－53x＋20＞5， ……………………………5分
解得 x＜9.w
∴ 3＜x＜9. ……………………………6分
∴容器内的水量大于5升时，1＜x＜9 .
解2： 当0≤x≤3时，y＝5x. ……………………………1分
当y＝5时，有5＝5x，解得 x＝1.
∵ y随x的增大而增大，
∴当y＞5时，有x＞1. ……………………………2分
∴ 1＜x≤3. ……………………………3分
当3＜x≤12时，
设 y＝kx＋b.
则15＝3k＋b，0＝12k＋b.解得k＝－53，b＝20.
∴ y＝－53x＋20. ……………………………4分
当y＝5时，5＝－53x＋20.
解得x＝9.
∵ y随x的增大而减小，
∴当y＞5时，有x＜9. ……………………………5分
∴3＜x＜9. ……………………………6分
∴容器内的水量大于5升时，1＜x＜9 .
23．（本题满分6分）
证明1：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FAD＝＝90°.
∵DE⊥AG，∴∠AED＝90°.
∴∠FAG＋∠EAD＝∠ADF＋∠EAD
∴∠FAG＝∠ADF. …………………1分
∵AG＝DE＋HG，AG＝AH＋HG，
∴ DE＝AH. ……………………………2分
又AD＝AB，
∴ △ADE≌△ABH. ……………………………3分
∴ ∠AHB＝∠AED＝90°.
∵∠ADC＝＝90°， ……………………………4分
∴ ∠BAH＋∠ABH＝∠ADF＋∠CDE. ……………………………5分
∴ ∠ABH＝∠CDE. ……………………………6分
24．（本题满分6分）
解： ∵ 直线y＝－x＋m＋n与y轴交于点C，
∴ C（0，m＋n）.
∵点B（p，q）在直线y＝－x＋m＋n上， ……………………………1分
∴q＝－p＋m＋n. ……………………………2分
又∵点A、B在双曲线y＝1x上，
∴1p＝－p＋m＋1m.
即p－m＝p－mpm，
∵点A、B是不同的点.
∴ p－m≠0.∴ pm＝1. ……………………………3分
∵ nm＝1，
∴ p＝n，q＝m. ……………………………4分
∵1＞0，∴在每一个象限内，
反比例函数y＝1x的函数值y随自变量x的增大而减小.
∴当m≥2时，0＜n≤12. ……………………………5分
∵S＝12( p＋q) p
＝12p2＋12pq
＝12n2＋12
又∵12＞0，对称轴n＝0，
∴当0＜n≤12时，S随自变量n的增大而增大.x
12＜S≤58. ……………………………6分
25．（本题满分6分）
证明一：∵?DE的长是3π3，∴2πr360?60＝3π3.∴ r＝3. ……………………1分
作BN⊥OA，垂足为N.
∵四边形OABC是菱形，
∴AB∥CO.
∵∠O＝60°，
∴∠BAN＝60°，∴∠AB N＝30°.
设NA＝x，则AB＝2x，∴ BN＝3x. ……………………………2分
∵M是OA的中点，且AB＝OA，
∴ AM＝x. ……………………………3分
在Rt△BNM中，新 课 标 xk b1. c om
(3x)2＋(2x)2＝(7)2，
∴ x＝1，∴BN＝3. ……………………………4分
∵ BC∥AO，
∴ 点O到直线BC的距离d＝3. ……………………………5分
∴ d＝r.
∴ 直线BC与⊙O相切. ……………………………6分
证明二：∵?DE的长是3π3，∴2πr360?60＝3π3 . ∴ r＝3. ……………………1分
延长BC，作ON⊥BC，垂足为N.
∵ 四边形OABC是菱形
∴ BC∥AO，
∴ ON⊥OA.
∵∠AOC＝60°，
∴∠NOC＝30°.
设NC＝x，则OC＝2x， ∴ON＝3x ……………………………2分
连接CM， ∵点M是OA的中点，OA＝OC，
∴ OM＝x. ……………………………3分
∴四边形MONC是平行四边形.
∵ ON⊥BC，
∴四边形MONC是矩形. ……………………………4分
∴CM⊥BC. ∴ CM＝ON＝3x.
在Rt△BCM中，
(3x)2＋(2x)2＝(7)2，
解得x＝1.
∴ON＝CM＝3. ……………………………5分
∴ 直线BC与⊙O相切. ……………………………6分
26．（本题满分11分）
（1）解： 不是 ……………………………1分
解方程x2＋x－12＝0得，x1＝－4，x2＝3. ……………………………2分
x1＋x2＝4＋3＝2×3.5. ……………………………3分
∵3.5不是整数，
∴方程x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”.…………………………4分
（2）解：存在 …………………………6分
∵方程x2－6x－27＝0，x2＋6x－27＝0是“偶系二次方程”，
∴ 假设 c＝mb2＋n. …………………………8分
当 b＝－6，c＝－27时，有 －27＝36m＋n. w w w .x k b 1.c o m
∵x2＝0是“偶系二次方程”，
∴n＝0，m＝－ 34. …………………………9分
即有c＝－ 34b2.
又∵x2＋3x－274＝0也是“偶系二次方程”，
当b＝3时，c＝－ 34×32＝－274.
∴可设c＝－ 34b2. …………………………10分
对任意一个整数b，当c＝－ 34b2时，
∵△＝b2－4c
＝4b2.
∴ x＝－b±2b2 .
∴ x1＝－32b，x2＝12b.
∴ x1＋x2＝32b＋12b＝2b.
∵b是整数，∴对任意一个整数b，当c＝－ 34b2时，关于x的方程


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