逍遥学能 2015-10-24 12:54
（2013•绥化）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时；
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？
考点：一次函数的应用4
专题：型；图表型．
分析：（1）由于线段AB与x轴平行，故自3时到4.9时这段时间内甲组停留在途中，所以停留的时间为1.9时；
（2）观察图象可知点B的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数，所以求得点B的坐标是解答（2）题的关键，这就需要求得直线EF和直线BD的解析式，而EF过点（1.25，0），（7.25，480），利用这两点的坐标即可求出该直线的解析式，然后令x=6，即可求出点C的纵坐标，又因点D（7，480），这样就可求出CD即BD的解析式，从而求出B点的坐标；
（3）由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，在点B处时，x=4.9，求出此时的y乙?y甲，在点D有x=7，也求出此时的y甲?y乙，分别同25比较即可．
解答：解：（1）1.9；（2分）
（2）设直线EF的解析式为y乙=kx+b
∵点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上
∴ （3分）
解得 ∴直线EF的解析式是y乙=80x?100；（4分）
∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，
∴点C的纵坐标为80×6?100=380；
∴点C的坐标是（6，380）；（5分）
设直线BD的解析式为y甲=x+n；
∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上，
∴ ；（6分）
解得 ；∴BD的解析式是y甲=100x?220；（7分）
∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲得B（4.9，270），
∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．（8分）
（3）符合约定；
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远．
在点B处有y乙?y甲=80×4.9?100?（100×4.9?220）=22千米＜25千米（10分）
在点D有y甲?y乙=100×7?220?（80×7?100）=20千米＜25千米（11分）
∴按图象所表示的走法符合约定．（12分）
点评：本题是依据函数图象提供的信息，解答相关的问题，充分体现了“数形结合”的数学思想，是中考的常见题型，其关键是认真观察函数图象、结合已知条件，正确地提炼出图象信息．
（2013•绥化）如图，直线N与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2?14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线N的解析式；
（3）在直线N上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
考点：一次函数综合题
分析：（1）通过解方程x2?14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）；
（2）设直线N的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．
解答：解：（1）解方程x2?14x+48=0得
x1=6，x2=8．
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2?14x+48=0的两个实数根，
∴OC=6，OA=8．
∴C（0，6）；
（2）设直线N的解析式是y=kx+b（k≠0）．
由（1）知，OA=8，则A（8，0）．
∵点A、C都在直线N上，
∴ ，
解得， ，
∴直线N的解析式为y=? x+6；
（3）∵A（8，0），C（0，6），
∴根据题意知B（8，6）．
∵点P在直线Ny=? x+6上，
∴设P（a，? a+6）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线N的交点，则P1（4，3）；
②当PC=BC时，a2+（? a+6?6）2=64，
解得，a= ，则P2（? ， ），P3（ ， ）；
③当PB=BC时，（a?8）2+（? a+6?6）2=64，
解得，a= ，则? a+6=? ，∴P4（ ，? ）．
综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（? ， ）P3（ ， ），P4（ ，? ）．
点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解．另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想．
（2013，河北）如图15，A（0，1），（3，2），N（4，4）.动点P从点A出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x+b也随之移动，设移动时间为t秒.
（1）当t＝3时，求l的解析式；
（2）若点，N位于l的异侧，确定t的取值范围；
（3）直接写出t为何值时，点关于l的对称点落在坐标轴上.
（2013•安徽）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)
是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线AD的解析式；
(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】
(1)OA=6，OB=12
点C是线段AB的中点，OC=AC
作CE⊥x轴于点E．
∴ OE=12OA=3，CE=12OB=6．
∴ 点C的坐标为(3，6)
(2)作DF⊥x轴于点F
△OFD∽△OEC，ODOC=23，于是可求得OF=2，DF=4．
∴ 点D的坐标为(2，4)
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A(6，0)，D(2，4)代人得
解得k=-1,b=6
∴ 直线AD的解析式为y=-x+6
(3)存在．
Q1(-32，32)
Q2(32，-32)
Q3(3，-3)
Q4(6，6)
．（2013•上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果邮箱剩余油量 （升）与行驶里程 （千米）之间是一次函数关系，其图像如图4所示，那么到达乙地时邮箱剩余油量是__________升．
（2013•毕节地区）一次函数y=kx+1的图象经过（1，2），则反比例函数 的图象经过点（2， ）．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
分析：把点（1，2）代入一次函数解析式求得k的值．然后利用反比例函数图象上点的坐标特征来．
解答：解：∵一次函数y=kx+1的图象经过（1，2），
∴2=k+1，
解得，k=1．
则反比例函数解析式为y=，
∴当x=2时，y=．
故答案是：．
点评：本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键．
（2013•昆明）已知正比例函数Y=KX的图像经过点A(－1，2)，则正比例函数的解析式为 。
（2013•柳州）某游泳池有水40003，先放水清洗池子．同时，工作人员记录放水的时间x（单位：分钟）与池内水量y（单位：3） 的对应变化的情况，如下表：
时间x（分钟）…10203040…
水量y（3）…3750350032503000…
（1）根据上表提供的信息，当放水到第80分钟时，池内有水多少3？
（2）请你用函数解析式表示y与x的关系，并写出自变量x的取值范围．
考点：一次函数的应用．
分析：（1）观察不难发现，每10分钟放水2503，然后根据此规律求解即可；
（2）设函数关系式为y=kx+b，然后取两组数，利用待定系数法一次函数解析式求解即可．
解答：解：（1）由图表可知，每10分钟放水2503，
所以，第80分钟时，池内有水4000?8×250=20003；
（2）设函数关系式为y=kx+b，
∵x=20时，y=3500，
x=40时，y=3000，
∴ ，
解得 ，
所以，y=?250+4000．
点评：本题主要考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，仔细分析数据，从图表准确获取信息是解题的关键．
（2013•铜仁）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（-2，0），B（0，3）两点，则不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＞3B.-2＜x＜3
C.x＜-2D.x＞-2
（2013•临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x（单位：台）102030
y（单位：万元?台）605550
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该机器的生产数量；
（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元?台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价?成本）
考点：一次函数的应用．
分析：（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出其关系式，由该机器生产数量至少为10台，但不超过70台就可以确定自变量的取值范围；
（2）根据每台的成本乘以生产数量等于总成本建立方程求出其解即可；
（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元?台）之间的函数关系式为z=ka+b，运用待定系数法求出其解析式，再将z=25代入解析式求出a的值，就可以求出每台的利润，从而求出总利润．
解答：解：（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意，得
，
解得： ，
∴y=? x+65．
∵该机器生产数量至少为10台，但不超过70台，
∴10≤x≤70；
（2）由题意，得
xy=2000，
? x2+65x=2000，
?x2+130x?4000=0，
解得：x1=50，x2=80＞70（舍去）．
答：该机器的生产数量为50台；
（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元?台）之间的函数关系式为z=ka+b，由函数图象，得
，
解得： ，
∴z=?a+90．
当z=25时，a=65．
当x=50时，y=40
总利润为：25（65?40）=625万元．
答：该厂第一个月销售这种机器的利润为625万元．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元二次方程的运用，销售问题利润=售价?进价的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
（2013•茂名）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：① ，② ，③ ，将 ， ， 从小到大排列并用“ ”连接为 ．
（2013•重庆B）已知正比例函数y=kx( )的图象经过点（1，-2），则正比例函数的解析式为
A. B. C. D.