福建省厦门市2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题

厦门市2012-2013学年（下）高一质量检测，则（ ）A．B．C．D．2．过点且与直线平行的直线方程是（ ）A．B．C．D．3．已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A．B．C．D．4．已知，则等于（ ）A．B．C．5D．255．对于，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程是（ ）A．B．C．D．6．设为的一个内角且，则（ ）A．B．C．D．7．已知函数，则下列命题正确的是（ ）A．函数的图象关于点对称B．函数在区间上是增函数C．函数是偶函数D．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象8．已知圆，直线与圆交于两点，且，则（ ）A．2B．3C．4D．89．设是不同的直线是不同的平面，有以下四个命题（ ）①②③④其中错误的命题是A．①②B．①③C．②③D．②④10．若圆与圆关于直线对称，则（ ）A．-1B．C．1D．二、填空题11．已知圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则此圆锥的体积为__________（结果保留）12．已知，则__________13．直线与圆相交两点，则__________14．已知，则__________15．若圆与圆相交于，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长是__________16．已知分别是的角所对的边且，点是的内心，若，则__________三、解答题17．如图，已知多面体的底面是正方形，底面，，且。（1）求证：平面；（2）连接交于点，取中点。证明：平面。18． 已知函数。（1）求的最小正周期；（2）若，求的值。19．已知动圆经过点和。（1）当圆面积最小时，求圆的方程；（2）若圆的圆心在直线上，求圆的方程。20．设，定义一种运算：。已知，，。（1）证明：；（2）点在函数的图象上运动，点在函数的图象桑运动，且满足（其中为坐标原点），求函数的单调递减区间。21．如图，设计一个小型正四棱锥形冷水塔，其中顶点在底面的射影为正方形的中心，返水口为的中点，冷水塔的四条钢梁（侧棱）设计长度均为10米。冷水塔的侧面选用钢板，基于安全与冷凝速度的考量，要求钢梁（侧棱）与底面的夹角落在区间内，如何设计可得侧面钢板用料最省且符合施工要求？22．如图，已知是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，，作轴于，轴于。（1）比较与的大小，并说明理由；（2）的两边交矩形的边于两点，且，求的取值范围。厦门市2012-2013学年（下）高一质量检测数学试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1-5： 6-10：二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11. 12. 13. 14. 15 16. 三、解答题：本大题共6小题，共76分．17．（本题满分12分）证明：（Ⅰ）底面 ，且，∴．2分正方形 中，3分，平面. 5分（Ⅱ ）．在三角形中，中位线，且----------------------7分已知， 且， -------------------------------------------------------9分即平面四边形为平行四边形，----------------------------------------------------------------------10分,又，-------------------------------------------------------11分. --------------------------------------------------------------------------------------------12分18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）---------------------------------2分 ---------------------------------------------------------------------------------4分的最小正周期为 -----------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）， -------------------------------------------------------9分-----------------------------------------------------------12分19．（本题满分12分）解：（Ⅰ）要使圆的面积最小，则为圆的直径，----------------------------------------------------分圆心,半径 -----------------------------------------------------------------------4分所以所求圆的方程为：. --------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）法一：因为，中点为，所以中垂线方程为，即 --------------------------------------------8分解方程组得：，所以圆心为．-------------------------------10分根据两点间的距离公式，得半径，------------------------------------------------------------11分因此，所求的圆的方程为. ------------------------------------------------12分法二：设所求圆的方程为，根据已知条件得 -------------------------------------------------------------------------------6分 --------------------------------------------------------------------------------------------------11分所以所求圆的方程为 . ---------------------------------------------------12分20．（本题满分12分）解：（Ⅰ），，依题意得，又，∴，------------------------------------------------------------------2分∴．---------------------------------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ ），，由得，-----------------------------------------6分即，----------------------------------------------------------------------------------------7分消去，得，即------------------10分令得------------------------------------11分函数的单调递减区间是 ------------------------------------------12分21. （本题满分14分）解：依题意，钢梁（侧棱）与底面的夹角．∴， --------------------------------------------------2分则，------------分在中，，---分∴-------------分 ------------------------------------------分又，则，----------------------------11分当且仅当时，取最小值是 -----------------------1分此时相应，，即冷水塔的底面边长应设计为米，高米时，侧面钢板用料最省- -----------------------------------------------------------------------14分22．（本题满分14分）解：（Ⅰ）法一：记，连接，则-------------------------------------------分依题意------------------------------------------------------------3分- ----------------------------------------------------------------------------------------------4分法二：∵，∴，------------------------------------------分显然即，-----------------------------------------------------------------------------------------3分则．-------------------------------------------------------------------------------------------------分（Ⅱ）设∠，，记⑴当时，-----------5分-----------------------6分 -------------------------分⑵当时，---------------分-------------------------------分----------------------------------------------------------------------分综上，在增函数，在是减函数，在是增函数，---------1分-----------------------------------------------------------------------------14分福建省厦门市2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题
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