逍遥学能 2015-05-07 09:39
考点：解直角三角形的应用．
分析：（1）根据A=AE+DE求解即可；
（2）先根据角平分线的定义得出∠EAD= ∠BAC=52°，再过点E作EG⊥AD于G，由等腰三角形的性质得出AD=2AG，然后在△AEG中，利用余弦函数的定义求出AG的长，进而得到AD的长度．
解答：解：（1）由题意，得A=AE+DE=36+36=72（c）．
故A的长为72c；
（2）∵AP平分∠BAC，∠BAC=104°，
∴∠EAD= ∠BAC=52°．
过点E作EG⊥AD于G，
∵AE=DE=36，
∴AG=DG，AD=2AG．
在△AEG中，∵∠AGE=90°，
∴AG=AE•cos∠EAG=36•cos52°=36×0.6157=22.1652，
∴AD=2AG=2×22.1652≈44（c）．
故AD的长约为44c．
点评：本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，其中涉及到角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角函数的定义，难度适中．
（2013•佛山）如图，若∠A=60°，AC=20，则BC大约是(结果精确到0.1)( )
A．34.64 B．34.6 C．28.3 D．17.3
（2013•广东）在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sinA=___ _____.
（2013•广州）如图10， 在东西方向的海岸线N上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里.
（1）求船P到海岸线N的距离（精确到0.1海里）；
（2）若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处.
（2013•深圳）如图2，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的
树高。下午课外活动时她测得一根长为1的竹杆的影长
是0.8。但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落
在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图）。
他先测得留在墙壁上的影高为1.2，又测得地面的影长
为2.6 ，请你帮她算一下，树高是
A、3.25 B、4.25 C 、4.45 D、4.75
（2013•珠海）一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值： ）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD的度数，得到AD的长度，然后在直角△ADC中，利用三角函数即可求解．
解答：解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠ADC?∠B=60°?30°=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD=62（米）．
在直角△ACD中，AC=AD•sin∠ADC=62× =31 ≈31×1.7=52.7≈53（米）．
答：小岛的高度是53米．
点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
（2013•绥化）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的长．
考点：解直角三角形．
分析：首先解Rt△ABD，求出AD、BD的长度，再解Rt△ADC，求出DC的长度，然后由BC=BD+DC即可求解．
解答：解：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ABD中，∵AB=8，∠ABD=30°，
∴AD= AB=4，BD= AD=4 ．
在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴DC=AD=4，
∴BC=BD+DC=4 +4．
点评：本题考查了解直角三角形的知识，属于基础题，解答本题的关键是在直角三角形中利用解直角三角形的知识求出BD、DC的长度．
（2013•河南）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位. 如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°. 求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米. 参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50， ≈1.73）.
（2013兰州）如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端在同一条直线上，测得旗杆顶端仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5，用同样的方法测得旗杆顶端的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆N的高度．（参考数据： ， ，结果保留整数．）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：过点A作AE⊥N于E，过点C作CF⊥N于F，则EF=0.2．由△AE是等腰直角三角形得出AE=E，设AE=E=x，则F=（x+0.2），FC=（28?x）．在Rt△FC中，由tan∠CF= ，得出 = ，解方程求出x的值，则N=E+EN．
解答：解：过点A作AE⊥N于E，过点C作CF⊥N于F，
则EF=AB?CD=1.7?1.5=0.2（），
在Rt△AE中，∵∠AE=90°，∠AE=45°，
∴AE=E．
设AE=E=x，则F=（x+0.2），FC=（28?x）．
在Rt△FC中，∵∠FC=90°，∠CF=30°，
∴F=CF•tan∠CF，
∴x+0.2= （28?x），
解得x≈10.0，
∴N=E+EN≈10+1.7≈12米．
答：旗杆N的高度约为12米．
点评：本题考查了解直角三角形的问题．该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些．
（2013•乌鲁木齐）九（1）数学兴趣小组为了测量河对岸的古塔A、B的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l上取相距20的C、D两点，测得∠ACB=15°，∠BCD=120°，∠ADC=30°，如图所示，求古塔A、B的距离．
考点：解直角三角形的应用．
专题：．
分析：过点A作AE⊥l于点E，过点C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，设AE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出CE，再由CD=20，可求出x，继而得出CF的长，在Rt△ACF中求出AF，在Rt△BCF中，求出BF，继而可求出AB．
解答：解：过点A作AE⊥l于点E，过点C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，
设AE=x，
∵∠ACD=120°，∠ACB=15°，
∴∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACF?∠ACB=30°，
在Rt△ACE中，∵∠ACE=45°，
∴EC=AE=x，
在Rt△ADE中，∵∠ADC=30°，
∴ED=AEcot30°= x，
由题意得， x?x=20，
解得：x=10（ +1），
即可得AE=CF=10（ +1）米，
在Rt△ACF中，∵∠ACF=45°，
∴AF=CF=10（ +1）米，
在Rt△BCF中，∵∠BCF=30°，
∴BF=CFtan30°=（10+ ）米，
故AB=AF?BF= 米．
答：古塔A、B的距离为 米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度，注意将实际问题转化为数学模型．
2013，河北）如图1，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的处，
它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到
达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的
距离为
A．40海里B．60海里
C．70海里 D．80海里
（2013，河北）一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些
液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α
（∠CBE = α，如图17-1所示）．
探究 如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′ 交于
点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如
图17-2所示．解决问题：
（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________d；
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB）
（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝34，tan37°＝34)
拓展 在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.
[温馨提示：下页还有题！]
延伸 在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高N = 1 d，B = C，N⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 d3.
（2013•安徽）某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为 （BC所在地面为水平面）．
（1）改善后的台阶坡面会加长多少？
（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到 ，参考数据： ， ）
解：（1）如图，在 中，
，……4分
． ………………………………5分
即改善后的台阶坡面会加长 ．
（2）如图，在 中,
即改善后的台阶多占 .长的一段水平地面．
（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图7-1所示，点 是栏杆转动的支点，点 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆 升起后的位置如图7-2所示，其示意图如图7-3所示，其中 ⊥ ，
∥ ， ， 米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．
（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75．）
（2013•毕节地区）如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．（精确到0.1米， ≈1.732）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：．
分析：设EC=x，则在Rt△BCE中，BC= EC= x；在Rt△BCD中，CD= BC=3x；
在Rt△ACD中，AC=AB+BC=73.2+ x，CD=3x，利用关系式AC=CD列方程求出x；
塔高DE=CD?EC=2x可以求出．
解答：解：设EC=x（米），
在Rt△BCE中，∠EBC=30°，∴BC= = x；
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，∴CD=BC•tan60°= x• =3x；
在Rt△ACD中，∠DBC=45°，
∴AC=CD，
即：73.2+ x=3x，
解得：x=12.2（3+ ）．
塔高DE=CD?EC=3x?x=2x=2×12.2（3+ ）=24.4（3+ ）≈115.5（米）．
答：塔高DE约为115.5米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度，难度一般．
（2013•昆明）如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角 BAD为35?，斜坡CD的坡度为i=1:1.2（垂直高度CE与水平宽度DE的比），上底BC=10,天桥高度CE=5,求天桥下底AD的长度？（结果精确到0.1，参考数据：sin35?≈ 0.57，cos 35?≈ 0.82,tan35?≈ 0.70）
（2013•铜仁）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，则si nB的值等于 .
（2013•铜仁）为了测量旗杆AB的高度.甲同学画出了示意图1，并把测 量结果记录如下，BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD=a，CA=b,CE=c；乙同学画出了示意图2 ，并把测量结果记录如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE=,AE=n,∠BDC=α.
（1）请你帮助甲同学计算旗杆AB的高度（用含a、b、c的式子表示）；
（2）请你帮助乙同学计算旗杆AB的高度（用含、n、α的式子表示）.
解：（1）∵DC⊥AE，BA⊥AE ∴△ECD∽△EAB……………………2分
∴ … ……………………………………4分
∴ ……………………………………………5分
（2）∵AE⊥AB，DC⊥AB，DE⊥AE
∴DC=AE=n,AC=DE=………………………………………………7分
在Rt△DBC中，BC/CD=tanα，
∴BC=n•tanα…………………………………………9分
∴AB=BC+AC=n•tanα+………………………………10分
（2013•红河）如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB，在地面D处测得塔尖的仰角 ，塔底的仰角 ，点D距塔AB的距离DC为100米，求手机信号中转塔AB的高度（结果保留根号）．
解：由题意可知，△ACD与△BCD都是直角三角形．
在Rt△BCD中，
∵∠BDC = 45°，
∴BC = CD = 100． ………………2分
在Rt△ACD中，
∵∠ADC = 60°，CD = 100，
∴ ，
即 ．
∴ , …………………………4分
∴ ． …………………………5分
答：手机信号中转塔的高度为 米．