逍遥学能 2015-04-30 10:31
42、（2013•滨州压轴题）根据要求，解答下列问题：
（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；
（2）如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°．
①求直线l3的函数表达式；
②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的直线l4，求直线l4的函数表达式．
（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y=? 垂直的直线l5的函数表达式．
考点：一次函数综合题．
分析：（1）根据题意可直接得出l2的函数表达式；
（2）①先设直线l3的函数表达式为y=k1x（k1≠0），根据过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°，直线过一、三象限，求出k1=tan30°，从而求出直线l3的函数表达式；
②根据l3与l4的夹角是为90°，求出l4与x轴的夹角是为60°，再设l4的解析式为y=k2x（k2≠0），根据直线l4过二、四象限，求出k2=?tan60°，从而求出直线l4的函数表达式；
（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可得出它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，再根据这一关系即可求出与直线y=? 垂直的直线l5的函数表达式．
解答：解：（1）根据题意得：y=?x；
（2）①设直线l3的函数表达式为y=k1x（k1≠0），
∵过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°，直线过一、三象限，
∴k1=tan30°= ，
∴直线l3的函数表达式为y= x；
②∵l3与l4的夹角是为90°，
∴l4与x轴的夹角是为60°，
设l4的解析式为y=k2x（k2≠0），
∵直线l4过二、四象限，
∴k2=?tan60°=? ，
∴直线l4的函数表达式为y=? x；
（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，
∴过原点且与直线y=? 垂直的直线l5的函数表达式为y=5x．
点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是锐角三角函数、一次函数的解析式的求法，关键是根据锐角三角函数求出k的值，做综合性的题要与几何图形相结合，更直观一些．
43、（2013•攀枝花压轴题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB= ．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作P垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△PQ的面积为S．[:Zxxk.Co]
（1）点A的坐标为 （?4，0） ，直线l的解析式为 y=x+4 ；
（2）试求点Q与点相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；
（4）随着P，Q两点的运动，当点在线段DC上运动时，设P的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QN为等腰三角形？请直接写出t的值．
考点：一次函数综合题．
分析：（1）利用梯形性质确定点D的坐标，利用sin∠DAB= 特殊三角函数值，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式；
（2）解答本问，需要弄清动点的运动过程：
①当0＜t≤1时，如答图1所示；
②当1＜t≤2时，如答图2所示；
③当2＜t＜ 时，如答图3所示．[:学科网ZXXK]
（3）本问考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值；
（4）△QN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解．
解答：解：（1）∵C（7，4），AB∥CD，
∴D（0，4）．
∵sin∠DAB= ，
∴∠DAB=45°，
∴OA=OD=4，
∴A（?4，0）．
设直线l的解析式为：y=kx+b，则有
，
解得：k=1，b=4，
∴y=x+4．
∴点A坐标为（?4，0），直线l的解析式为：y=x+4．
（2）在点P、Q运动的过程中：
①当0＜t≤1时，如答图1所示：
过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．
过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t• =3t．
∴PE=PB?BE=（14?2t）?3t=14?5t，
S= P•PE= ×2t×（14?5t）=?5t2+14t；
②当1＜t≤2时，如答图2所示：
过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
则CQ=5t?5，PE=AF?AP?EF=11?2t?（5t?5）=16?7t，
S= P•PE= ×2t×（16?7t）=?7t2+16t；
③当点与点Q相遇时，D+CQ=CD=7，
即（2t?4）+（5t?5）=7，解得t= ．
当2＜t＜ 时，如答图3所示：
Q=CD?D?CQ=7?（2t?4）?（5t?5）=16?7t，
S= P•Q= ×4×（16?7t）=?14t+32．
（3）①当0＜t≤1时，S=?5t2+14t=?5（t? ）2+ ，
∵a=?5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t= ，
∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大，
∴当t=1时，S有最大值，最大值为9；
②当1＜t≤2时，S=?7t2+16t=?7（t? ）2+ ，
∵a=?7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t= ，
∴当t= 时，S有最大值，最大值为 ；
③当2＜t＜ 时，S=?14t+32
∵k=?14＜0，
∴S随t的增大而减小．
又∵当t=2时，S=4；
当t= 时，S=0，
∴0＜S＜4．
综上所述，当t= 时，S有最大值，最大值为 ．
（4）△QN为等腰三角形，有两种情形：
①如答图4所示，点在线段CD上，
Q=CD?D?CQ=7?（2t?4）?（5t?5）=16?7t，N=D=2t?4，
由N=Q，得16?7t=2t?4，解得t= ；
②如答图5所示，当点运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，
此时△QN为等腰三角形，t= ．
故当t= 或t= 时，△QN为等腰三角形．
点评：本题是典型的运动型综合题，难度较大，解题关键是对动点运动过程有清晰的理解．第（3）问中，考查了指定区间上的函数极值，增加了试题的难度；另外，分类讨论的思想贯穿（2）?（4）问始终，同学们需要认真理解并熟练掌握．
44、（2013•宁波压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（?4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题．
分析：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可；
（2）①先证出△BOD≌△COD，得出∠BOD=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，
②先连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF= DE，即y= x；
（3）当 =2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=∠BFH，再证出△BOD∽△FHB， = = =2，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4?OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y=x+，最后根据 求出点P的坐标即可；
当 =时，连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB， = = =，得出FG=8，OD=BG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根据 即可求出点P的坐标．
解答：解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，
代入（4，0）得：4k+4=0，
解得：k=?1，
则直线AB的函数解析式为y=?x+4；
（2）①由已知得：
OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，
∴△BOD≌△COD，
∴∠BOD=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP，
②连结PE，
∵∠ADP是△DPE的一个外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一个外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF= DE，即y= x；
（3）当BD：BF=2：1时，
过点F作FH⊥OB于点H，
∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴ = = =2，
∴FH=2，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴OE=FH=2，
∴EF=OH=4?OD，
∵DE=EF，
∴2+OD=4?OD，
解得：OD=，
∴点D的坐标为（0，），
∴直线CD的解析式为y=x+，
由 得： ，
则点P的坐标为（2，2）；
当 =时，
连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，
而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠DEP=∠DPA，
∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
过点F作FG⊥OB于点G，
同理可得：△BOD∽△FGB，
∴ = = =，
∴FG=8，OD=BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四边形OEFG是矩形，
∴OE=FG=8，
∴EF=OG=4+2OD，
∵DE=EF，
∴8?OD=4+2OD，
OD= ，
∴点D的坐标为（0，? ），
直线CD的解析式为：y=? x? ，
由 得： ，
∴点P的坐标为（8，?4），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，?4）．
点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组．
45、（2013济宁压轴题）如图，直线y=?x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．
考点：一次函数综合题．
分析：（1）根据直线y=?x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出 = =，据此可以求得点P的运动速度；
（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；
（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．
解答：解：（1）∵直线y=?x+4与坐标轴分别交于点A、B，
∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，
∴ ==，
当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，
∵EP∥BO，
∴ = =，
∴AP=2t，
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，
∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；
（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
则∵OQ=FQ=t，PA=2t，
∴QP=8?t?2t=8?3t，
∴8?3t=t，
解得：t=2，
如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
∵OQ=t，PA=2t，
∴OP=8?2t，
∴QP=t?（8?2t）=3t?8，
∴t=3t?8，
解得：t=4；
（3）如图1，当Q在P点的左边时，
∵OQ=t，PA=2t，
∴QP=8?t?2t=8?3t，
∴S矩形PEFQ=QP•QF=（8?3t）•t=8t?3t2，
当t=? =时，
S矩形PEFQ的最大值为： =4，
如图2，当Q在P点的右边时，
∵OQ=t，PA=2t，
∴QP=t?（8?2t）=3t?8，
∴S矩形PEFQ=QP•QE=（3t?8）•t=3t2?8t，
∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴0≤t≤4，
当t=? =时，S矩形PEFQ的最小，
∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42?8×4=16，
综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．
点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．