福建省南侨中学等四校2014届高三期末摸底统一考试数学理试题

2014年南侨中学、永春三中、南安三中、永春侨中、荷山中学高中毕业班期末统一考试数学（理）试题及参考答案参考公式：柱体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高；锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高；球的表面积、体积公式：，，其中R为球的半径.[来一、选择题本大题有小题，每小题分，共分.每小题都有四个选项，．1．已知,则（　　）A．B．C．D．2．已知复数（　　）A．B．或 D． 3．函数的零点所在的区间是（ C ）A.（1，2） B. （3，4） C.（2，3）　　 D.（0，1）4. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 A.8 B.10 C. 31 D. 635. 已知直线平面，直线平面，则”是”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件曲线，与直线，所围成的平面区域的面积为A．B．C．D．．己知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则 =A． B． C． D． B. C. D. 且函数在处有极值，则的最大值等于 ( A )A.9 B.6 C.3 D. 2 已知抛物线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是 A． B. C. D. 二、11. 已知是第四象限角，且，则_________　．12. 已知实数满足，则的最小值是-5 .13. 已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积.14．是半径为5的圆上的一个定点，单位向量在点处与圆相切，点是圆上的一个动点，且点与点不重合，则的取值范围是 .15.如图所示，海岸线上有相距5海里的两座灯塔、，灯塔位于灯塔的正南方向，海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔的北偏西方向，与相距6海里的处；乙船位于灯塔的北偏西方向，与相距10海里的处，则两艘船之间的距离为 海里. 三、解答题本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16. (本题满分13分)已知等差数列，公比为q(q＞1)的等比数列，满足集合。（Ⅰ）求通项（Ⅱ）求数列{}的前n项和.[来源:16.本题考察等差数列和等比数列的通项公式和分组求和公式∵等差数列∴解得∴ ……………………4分∵等比数列成公比大于1的等比数列且∴……………………5分∴∴……………………8分 (2) ……………………10分 =+……………………12分 =……………………13分17. （本小题满分13分）设函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）若，是否存在实数m，使函数的值域恰为？若存在，请求 出m的取值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）∵ …………4分∴函数的最小正周期 ……………… 6分（Ⅱ）假设存在实数m符合题意， ，∴ ………… 8分∴ ………… 9分又∵，解得 ………… 11分∴存在实数，使函数的值域恰为 ………… 13分18．（）如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，点F分别是PB的中点（Ⅰ） ；（Ⅱ）当等于何值时，二面角P-DE-A的大小为°.18. 本题考察线面平行和用空间向量求二面角得方法确定线段的长度.（I）证明：在中∵．分别是．中点∴又∵平面 ∴平面………5分（II）设，以为原点，以．．为．．轴方向建立空间直角坐标系如图所示,则 ………………7分 设平面法向量为 取 又平面法向量………………10分∵二面角的大小为30° ∴ 即：……………12分 ∴ 或（舍） ∴AD长为………………13分19.（本小题满分13分）已知点，是平面上一动点，且满足． （Ⅰ）设点的轨迹为曲线，求曲线的方程；（Ⅱ）M是曲线上的动点，以线段为直径作圆，证明该圆与轴相切； （Ⅲ）已知点在曲线上，过点引曲线的两条动弦，且．判断：直线是否过定点？试证明你的结论．19. 解：（1）设，代入得，化简得即为曲线的方程．…………………………4分（2）证明：设，直径为，的中点，且，∴圆心为圆心到轴的距离等于半径，相切…………………………8分（3）将代入得，点的坐标为．设直线的方程为代入，得，由可得， .同理可设直线，代入得 .则直线方程为： ，化简得，即，∴直线过定点．…………………………13分20. （本小题满分14分）已知函数(为自然对数的底数，为常数）．对于函数，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线．（Ⅰ）若，求的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．20.解：（Ⅰ）若，则，， ………1分由得又得； 得，在单调递增，在单调递减；在处取得极大值,无极小值． ……………………………3分（Ⅱ），……………………………………………………………4分①当时，由得由得函数在区间上是增函数，在区间上是减函数：………6分②当时，对恒成立，此时函数是区间上的增函数；………………………………………………………7分③当时，由得由得函数在区间上是增函数，在区间上是减函数． ……………………9分（Ⅲ）若存在，则恒成立，令，则，所以， ……………………………………………………11分因此：对恒成立，即对恒成立，由得到， ……………………………………………………………………12分现在只要判断是否恒成立， 设，则，①当时，②当时， …………………………………………13分所以，即恒成立，所以函数与函数存在“分界线”，且方程为……14分21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．(1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应的变换矩阵是．（）求变换对应的变换矩阵；（）求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程．(2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（t是参数）．若直线与圆C相切，求实数的值．(3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2．（Ⅰ）求整数的值;（Ⅱ）在（I）的条件下，解不等式：． 21． (1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换(I) 变换T1是逆时针旋转的旋转变换……3分（），设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则，也就是，即，由得所求曲线的方程是． (2)(本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程解：由，得， ，即圆的方程为，…………3分又由消，得，…………5分 直线与圆相切，，…………6分． (3)(本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲（I），得 不等式的整数解为2， 又不等式仅有一个整数解2， …………4分（II）即解不等式，．当时，不等式，不等式解集为 当时，不等式为，不等式解为 当时， ，不等式解集为 综上，不等式解为 第15题BADCOAP(第14题图)侧视图(第13题)俯视图正视图S=S+2i =2i+1i =1i > 32?S=0开始结束输出S(第4题)否是福建省南侨中学等四校2014届高三期末摸底统一考试数学理试题
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