逍遥学能 2018-09-01 20:59
普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数 学（理工类）
【34】（A，湖北，理1）在复平面内，复数 （ 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点名称 数系的扩充与复数的概念
【34】（A，湖北，理1）D
解析： ，则 ，其对应点Z（1，－1）位于第四象限.
【1】（A，湖北，理2）已知全集为 ，集合 ， ，则
A． B．
C． D．
考点名称 集合
【1】（A，湖北，理2）C
解析：∵ ， ，∴ .
【2】（A，湖北，理3文3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A． ∨ B． ∨ C． ∧ D． ∨
考点名称 常用逻辑语句
【2】（A，湖北，理3文3）A
解析：因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则 是“没有降落在指定范围”， 是“乙
没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ∨ .
【6】（B，湖北，理4文6）将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则的最小值是
A． B． C． D．
考点名称 三角函数及其图象与性质
【6】（B，湖北，理4文6）B
解析：因为 可化为 （x∈R），将它向左平移 个单位得 ，其图像关于y轴对称.
【17】（B，湖北，文2理5）已知 ，则双曲线 ： 与 ： 的
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
考点名称 圆锥曲线及其标准方程
【17】（B，湖北，文2理5）D
解析：对于双曲线C1，有 ， . 对于双曲线C2，有 ， .即这两双曲线的离心率相等.
【7】（B，湖北，理6文7）已知点 、 、 、 ，则向量 在 方向上的投影为
A． B． C． D．
考点名称 平面向量的概念及其运算
【7】（A，湖北，理6文7）A
解析： =（2,1）， =（5,5），则向量 在向量 方向上的射影为
.
【31】（C，湖北，理7）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 （t的单位：s，v的单位：/s）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：）是
A． B． C． D．
考点名称 定积分与微积分基本定理
【31】（C，湖北，理7）C
解析：令 =0，解得t ＝4或t＝ （不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为
＝ .
【21】（B，湖北，理8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为 ， ， ， ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有
A． B． C． D．
考点名称 空间几何体与三视图
【21】（B，湖北，理8） C
解析：显然 ，所以B不正确. 又 ， ，
， ，从而 .
【26】（B，湖北，理9）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅
拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 ，则 的均值
A． B． C． D．
考点名称 统计
【26】（B，湖北，理9）B 125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750，涂了油漆的面数有25×6=150.
每一个小正方体的一个面涂漆的频率为 ，则它的涂漆面数为 的均值 .
【29】（C，湖北，理10）已知 为常数，函数 有两个极值点 ， ，则
A． ， B． ，
C． ， D． ，
考点名称 导数及其应用
【29】（C，湖北，理10）D
解析： ，由 由两个极值点，得 有两个不等的实数解，即 有两个实数解，从而直线 与曲线 有两个交点. 过点（0，－1）作 的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率 ，切线方程为 . 切点在切线上，则 ，又切点在曲线 上，则 ，即切点为（1，0），切线方程为 . 再由直线 与曲线 有两个交点.，知直线 位于两直线 和 之间，如图所示，其斜率2a满足：0＜2a＜1，解得0＜a＜ . .则这函数的两个极点 满足 ，所以 ，而 ，即 ，所以 .
【26】（A，湖北，理11）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）直方图中 的值为_________；
（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间 内的户数为_________.
考点名称 统计
【26】（A，湖北，理11）（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70
解析：（Ⅰ）
＝0.0044；
（Ⅱ）用电量落在区间 内的户数为 .
【24】（A，湖北，理12）如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 _________.
考点名称 算法初步与框图
【24】（A，湖北，理12）5
解析：已知初始值 ，∵ ，则执行程序，得 ；因为 ，则执行程序，得 ； ，则第三次执行程序，得 ；∵ ，则第四次执行程序，得 ；∵ ，执行输出i， .
【13】（C，湖北，理13）设 ，且满足： ， ，则 _________.
考点名称
【13】（C，湖北，理13）
解析：
【39】（湖北理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10， ，第 个三角形数为 . 记第 个 边形数为 ，以下列出了部分k边形数中第 个数的表达式：
三角形数 ，
正方形数 ，
五边形数 ，
六边形数 ，
………………………………………
可以推测 的表达式，由此计算 _________.
考点名称 创新与拓展
【13】（C，湖北，理13）1000
解析：三角形数 ，
正方形数 = ，
五边形数 = ，
六边形数 = = ，
………………………………………
推测k边形 .
所以 .
【37】（B，湖北，理15）如图，圆 上一点 在直径 上的射影为 ，点 在半径 上的射影为 ．若 ，则 的值为_________．
考点名称 选修4-1：几何证明选讲
【37】（B，湖北，理15）8
解析：根据题设，易知 ，
Rt△ODE∽Rt△DCE∽Rt△OCD，∴ ，即CO=3OD=9OE，
在Rt△ODE中， ，
在Rt△CDE中， ，即 ，∴ .
【36】（A，湖北，理16）
在直角坐标系 中，椭圆 的参数方程为 （ 为参数， ）. 在
极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴
为极轴）中，直线 与圆 的极坐标方程分别为 （为非零常数）
与 . 若直线 经过椭圆 的焦点，且与圆 相切，则椭圆 的离心率为_________.
考点名称 选修4-4：坐标系与参数方程
【36】（A，湖北，理16） 椭圆C的方程可以化为 ，圆O的方程可化为 ，直线l的方程可化为 ，因为直线l经过椭圆的焦点，且与圆O相切，则 ， ， ，所以椭圆的离心率 .
【10】（B，湖北，理17）在△ 中，角 ， ， 对应的边分别是 ， ， . 已知 .
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ 的面积 ， ，求 的值.
考点名称 解三角形
【10】（B，湖北，理17）（Ⅰ）由 ，得 ,
即 ，解得 或 （舍去）.
因为 ，所以 .
（Ⅱ）由 得 . 又 ，知 .
由余弦定理得 故 .
又由正弦定理得 .
【19】（B，湖北，理18）已知等比数列 满足： ， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由.
考点名称 等比数列
【19】（B，湖北，理18）（Ⅰ）设等比数列 的公比为q，则由已知可得
解得 或
故 ，或 .
（Ⅱ）若 ，则 ，故 是首项为 ，公比为 的等比数列，
从而 .
若 ，则 ，故 是首项为 ，公比为 的等比数列，
从而 故 .
综上，对任何正整数 ，总有 .
故不存在正整数 ，使得 成立.
【23】（B，湖北，理19）如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点，直线 平面 ， ， 分别是 ， 的中点.
（Ⅰ）记平面 与平面 的交线为 ，试判断直线 与平面 的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆 的另一个交点为 ，且点Q满足 . 记直线 与平面 所成的角为 ，异面直线 与 所成的角为 ，二面角 的大小为 ，求证： .
考点名称 空间向量与立体几何
【23】（B，湖北，理19）（Ⅰ）直线 ∥平面 ，证明如下：
连接 ，因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ∥ .
又 平面 ，且 平面 ，所以 ∥平面 .
而 平面 ，且平面 平面 ，所以 ∥ .
因为 平面 ， 平面 ，所以直线 ∥平面 .
（Ⅱ）（综合法）如图1，连接 ，由（Ⅰ）可知交线 即为直线 ，且 ∥ .
因为 是 的直径，所以 ，于是 .
已知 平面 ，而 平面 ，所以 .
而 ，所以 平面 .
连接 ， ，因为 平面 ，所以 .
故 就是二面角 的平面角，即 .
由 ，作 ∥ ，且 .
连接 ， ，因为 是 的中点， ，所以 ，
从而四边形 是平行四边形， ∥ .
连接 ，因为 平面 ，所以 是 在平面 内的射影，
故 就是直线 与平面 所成的角，即 .
又 平面 ，有 ，知 为锐角，
故 为异面直线 与 所成的角，即 ，
于是在 △ ， △ ， △ 中，分别可得
， ， ，
从而 ，即 .
（Ⅱ）（向量法）如图2，由 ，作 ∥ ，且 .
连接 ， ， ， ， ，由（Ⅰ）可知交线 即为直线 .
以点 为原点，向量 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则有
,
.
于是 ， ， ，
所以 ，从而 .
又取平面 的一个法向量为 ，可得 ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以由 可得 取 .
于是 ，从而 .
故 ，即 .
【40】（B，湖北，理20）假设每天从甲地去乙地的旅客人数 是服从正态分布 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为 .
（Ⅰ）求 的值；
（参考数据：若 ～ ，有 ， ， .）
（Ⅱ）某客运公司用 、 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. 、 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求 型车不多于 型车7辆. 若每天要以不小于 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 型车、 型车各多少辆?
考点名称 随机变量及其分布，简单的线性规划
【40】（B，湖北，理20）（Ⅰ）由于随机变量 服从正态分布 ，故有 ，
.
由正态分布的对称性，可得
.
（Ⅱ）设 型、 型车辆的数量分别为 辆，则相应的营运成本为 . 依题意, 还需满足：
.
由（Ⅰ）知， ，故 等价于 .
于是问题等价于求满足约束条件
且使目标函数 达到最小的 .
作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为 .
由图可知，当直线 经过可行域的点P时，直线 在y轴上截距 最小，即z取得最小值.
故应配备 型车5辆、 型车12辆.
【16】（C，湖北，理21）如图，已知椭圆 与 的中心在坐标原点 ，长轴均为 且在 轴上，短轴长分别为 ， ，过原点且不与 轴重合的直线 与 ， 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记 ，△ 和△ 的面积分别为 和 .
（Ⅰ）当直线 与 轴重合时，若 ，求 的值；
（Ⅱ）当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得 ？并说明理由．
考点名称 直线与圆锥曲线
【16】（C，湖北，理21）依题意可设椭圆 和 的方程分别为
： ， ： . 其中 ，
（Ⅰ）解法1：如图1，若直线 与 轴重合，即直线 的方程为 ，则
， ，所以 .
在C1和C2的方程中分别令 ，可得 ， ， ，
于是 .
若 ，则 ，化简得 . 由 ，可解得 .
故当直线 与 轴重合时，若 ，则 .
解法2：如图1，若直线 与 轴重合，则
， ；
， .
所以 .
若 ，则 ，化简得 . 由 ，可解得 .
故当直线 与 轴重合时，若 ，则 .
（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得 . 根据对称性，
不妨设直线 ： ，
点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则
因为 ， ，所以 .
又 ， ，所以 ，即 .
由对称性可知 ，所以 ，
，于是
. ①
将 的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得
， .
根据对称性可知 ， ，于是
. ②
从而由①和②式可得
. ③
令 ，则由 ，可得 ，于是由③可解得 .
因为 ，所以 . 于是③式关于 有解，当且仅当 ，
等价于 . 由 ，可解得 ，
即 ，由 ，解得 ，所以
当 时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得 ；
当 时，存在与坐标轴不重合的直线l使得 .
解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得 . 根据对称性，
不妨设直线 ： ，
点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则
因为 ， ，所以 .
又 ， ，所以 .
因为 ，所以 .
由点 ， 分别在C1，C2上，可得
， ，两式相减可得 ，
依题意 ，所以 . 所以由上式解得 .
因为 ，所以由 ，可解得 .
从而 ，解得 ，所以
当 时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得 ；
当 时，存在与坐标轴不重合的直线l使得 .
【40】（湖北理22）设 是正整数， 为正有理数.
（Ⅰ）求函数 的最小值；
（Ⅱ）证明： ；
（Ⅲ）设 ，记 为不小于 的最小整数，例如 ， ， .
令 ，求 的值.
（参考数据： ， ， ， ）
考点名称 导数，函数的性质，不等式，创新与拓展，交汇与整合
【40】（湖北理22）（Ⅰ）因为 ，令 ，解得 .
当 时， ，所以 在 内是减函数；
当 时， ，所以 在 内是增函数.
故函数 在 处取得最小值 .
（Ⅱ）由（Ⅰ），当 时，有 ，即
，且等号当且仅当 时成立，
故当 且 时，有
. ①
在①中，令 （这时 且 ），得 .
上式两边同乘 ，得 ，即
②
当 时，在①中令 （这时 且 ），类似可得
③
且当 时，③也成立.
综合②，③得
④
（Ⅲ）在④中，令 ， 分别取值81，82，83，…，125，得
，
.
将以上各式相加，并整理得
.
代入数据计算，可得 ， .
由 的定义，得 .