逍遥学能 2015-02-14 18:48
一、选择题
1.有一长为米的斜坡，它的坡度为，公路建设部门根据要求需要在坡底填土，使斜坡的坡度变为，则坡底将伸长( ).
A.米 B. 米 C. 米 D. 米
考查目的：考查正弦定理、二倍角正弦公式的基本应用.
答案：D.
解析：如图，原斜坡为，填土后的斜坡为，要求的长. 根据题意可知，，，，根据正弦定理得，∴.
2.(2010北京文)某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( ).
A. B.
C. D.
考查目的：考查三角形面积公式、直角三角形边角关系或余弦定理，以及三角恒等变形能力.
答案：A.
解析：根据已知条件，四个等腰三角形的面积之和为，由直角三角形的边角关系得正方形的边长为，所以该八边形的面积为 .
3.(由2009浙江文改编)在中，角所对的边分别为，且满足，若．则的面积为( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查二倍角余弦公式、同角三角函数的基本关系式、三角形面积公式、向量的数量积以及运算求解能力.
答案：C.
解析：∵，∴，又∵，∴，而，∴，∴的面积为.
二、填空题
4.(2011上海理)在相距2千米的两点处测量目标，若，，则两点之间的距离是 千米.
考查目的：考查三角形内角和定理、正弦定理的应用.
答案：.
解析：根据三角形内角和定理得，，∴由正弦定理得，∴.
5.三角形的一边长为，这条边所对的角为，另两边之比为，则这个三角形的面积为 .
考查目的：考查余弦定理及三角形面积公式.
答案：.
解析：不妨设的边，，，则由余弦定理得，两式联立解得，，∴.
6.我舰在岛南偏西方向相距的处发现敌舰正从岛沿北偏西的方向以每小时的速度航行，若我舰要用小时追上敌舰，则我舰追击的速度为 ，方向为 (精确到).
考查目的：考查正弦定理、余弦定理以及方程思想的应用.
答案：小时，北偏东.
解析：设我舰以速度航行，在处追上敌舰. 在中，由题意知，，，，所以根据余弦定理得，，∴.设我舰追击的方向为北偏东角度，由正弦定理得，，∴，故.
三、解答题：
7.(2008上海)如图，某住宅小区的平面图呈扇形．小区的两个出入口设置在点及点处，小区里有两条笔直的小路，，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟．若此人步行的速度为每分钟米，求该扇形的半径的长(精确到1米)．
考查目的：考查利用余弦定理解决实际问题的能力以及运算求解能力.
答案：米
解析：(方法一)设该扇形的半径为米. 由题意，得米，米，.在中， 即，解得(米).
(方法二)连接，作，交于，由题意，得米，米，，在中，，∴米. .在直角中，(米)，，∴ (米).
8.在中，的对边分别为，为边上的高，且，试求的最大值.
考查目的：考查余弦定理、三角形面积公式、三角函数的恒等变形和性质以及运算求解能力.
答案：.
解析：由余弦定理，得. 两边同除以，得.∵，∴，即，代入上式得，(其中为锐角，且)，∴的最大值为.