逍遥学能 2015-02-10 17:48
一、选择题
1.(2010山东)在空间中，下列命题正确的是( )．
A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行
考查目的：考查空间直线与平面的位置关系，直线与平面垂直、平行的判定和性质.
答案：D.
解析：选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D正确.
2.(2012浙江文)设是直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( ).
A.若∥，∥，则∥ B.若∥，⊥，则⊥
C.若⊥，⊥，则⊥ D.若⊥，∥，则⊥
考查目的：考查直线与平面平行、垂直的判定和性质.
答案：B.
解析：利用排除法可得选项B是正确的，选项A：当∥，∥时，⊥或∥；选项C：若⊥，⊥，则∥或；选项D：若⊥，⊥，则∥或⊥.
3.(2010全国2文)已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，，那么直线与平面所成角的正弦值为( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查直线与平面、平面与平面的位置关系，会求直线与平面所成的角.
答案：D.
解析：过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴，AS=3，∴，，∴.
二、填空题
4.(2010辽宁理)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.
考查目的：考查直线与平面垂直的判定.
答案：.
解析：由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为.
5.(2010四川)如图，二面角的大小是，线段.，与所成的角为，则与平面所成的角的正弦值是 .
考查目的：考查直线和平面所成角的概念和求法.
答案：.
解析：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作的垂线.垂足为D.连结AD，则平面，AD⊥，故∠ADC为二面角的平面角为.又由已知得，∠ABD＝，连结CB，则∠ABC为与平面所成的角.设AD＝2，则，CD＝1，，∴.
6.(2012上海理)如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中，为常数，则四面体的体积的最大值是 .
考查目的：考查直线与直线、直线与平面垂直关系，会根据几何体特点进行合理的计算.
答案：.
解析：过点A做AE⊥BC，垂足为E，连接DE，由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE，所以.又∵，∴当时，四面体ABCD的体积最大.过E做EF⊥DA，垂足为点F，已知EA=ED，∴△ADE为等腰三角形，∴点E为AD的中点.又∵，∴，∴，∴四面体ABCD体积的最大值.
三、解答题
7.(2011天津改编)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为AC中点，⊥平面，PO=2，M为PD中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
考查目的：考查直线和平面所成角的概念及其求法.
答案：.
解析：取DO中点N，连接MN，AN.∵M为PD的中点，∴MN∥PO，且.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，∴是直线AM与平面ABCD所成的角.在中，，，∴，∴．在中，．即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为．
8.(2010辽宁文)如图，棱柱的侧面是菱形，.
⑴证明：平面平面；
⑵设是上的点，且平面，求的值.
考查目的：考查空间直线、平面之间的平行、垂直关系的证明，以及二面角的求法.
答案：C.
解析：⑴∵侧面是菱形，∴.又∵，且，∴平面.∵平面，∴平面平面.
⑵设交于点E，连结DE，则DE是平面与平面的交线. ∵∥平面，∴.又∵E是的中点，∴以D为的中点，∴.