逍遥学能 2014-11-20 20:47
一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 若是平面外一点，则下列命题正确的是
（A）过只能作一条直线与平面相交 （B）过可作无数条直线与平面垂直
（C）过只能作一条直线与平面平行 （D）过可作无数条直线与平面平行
2．在空间四边形中，、、、上分别取、、、四点，如果、交于一点，则（ ）
A．一定在直线上 B．一定在直线上
C．在直线或上 D．既不在直线上，也不在上
3．如图S为正三角形所在平面ABC外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E、F分别为SC、AB中点，则异面直线EF与SA所成角为（ ）
A．90? B．60? C．45? D．30?
4．下列说法正确的是（ ）
A．若直线平行于平面内的无数条直线，则
B．若直线在平面外，则
C．若直线，，则
D．若直线，，则直线就平行于平面内的无数条直线
5．在下列条件中，可判断平面与平面平行的是（ ）
A．、都垂直于平面
B．内存在不共线的三点到平面的距离相等
C．、是内两条直线，且，
D．、是两条异面直线，且，，，
6 若为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：① ② ；③ ，其中正确的命题有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当点D到平面ABC的距离最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为 （ ）
A．90? B．60? C．45? D．30?
8．PA、PB、PC是从点P引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60?，则直线PC与平面APB所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
9．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，则EF与对角面A1C1CA所成角的度数是（ ）
A．30? B．45? C．60? D．150?
10．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是
（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面
（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
（C）若AB=AC，DB=DC，则AD=BC
（D）若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC
11．对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是
（A）若则 （B）若则
（C）若则 （D）若、与所成的角相等，则
12．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．设是直二面角，，，，，
则 。
14．、、是两两垂直且交于O点的三个平面，P到平面、、的距离分别是2、3、
6，则 。
15． 如图，在正三棱柱中，AB=1。若二面角的大小为，则点到直线AB的距离为 。
16．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______________
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17.如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱。
（I）求证：BD⊥平面ACC1A；
（II）若二面角C1-BD-C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的大小。
18．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2，，，
⑴求证：平面AB1C⊥平面BB1C；
⑵求点B到平面AB1C的距离。
19. 如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.
（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；
（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.
20．如图，△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120?，
求：⑴A、D连线和平面DBC所成的角；⑵二面角A—BD—C的正切值。
21． 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。
（1）证明FO//平面CDE；
（2）设，证明EO⊥平面CDF。
22.（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
参考答案
一、选择题
DBCDD CCCAC CB
12．提示：BD1⊥平面AB1C，EF⊥平面AB1C
二、填空题
13．60? 14．7 15． 16．. 。
三、解答题
17．
解法一：
（1）∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱
∴CC1⊥平面ABCD
∴BD⊥CC1
∴ABCD是正方形，
∴BD⊥AC
又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，
∴BD⊥平面ACC1A1
（II）设BD与AC相交于O，连接C1O。
∵CC1⊥平面ABCD、BD⊥AC。∴BD⊥C1O∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角
∴∠C1OC=60°
连接A1B∵A1C1∥AC∴∠A1C1B是BC1与AC所成角.
设BC=a,则CO=
在△A1BC1中，由余弦定理得
∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos
解法二:（I）建立空间直角坐标系D-xyz,如图。
设AD=a，DD1=b，则有D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），
C（0，a，0），C1（0，a，b），
∴BD⊥AC，BD⊥CC1
又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，
∴BD⊥平面ACC1A1。
（II）设BD与AC相交于O，连接C1O，则点O坐标为)
∴BD⊥C1O，又BD⊥CO， ∴∠C1OC=60°
∴
∴异面直线BC1与AC所成角的大小为
18．⑴由已知条件立即可证得，
⑵在平面BB1C内作BD⊥B1C于D，由⑴得BD⊥面AB1C，
∴BD为B到面AB1C的距离，∴（本题也可用体积转换）
19．．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1
所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）.
从而
所以AC⊥BO1.
（II）解：因为所以BO1⊥OC，
由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.
设是0平面O1AC的一个法向量，
由 得.
设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方向可知，>，
所以cos，>=
即二面角O—AC—O1的大小是
解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影.
因为 ，
所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1
由三垂线定理得AC⊥BO1.
（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.
设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC
内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC.
所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.
由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，
所以，
从而， 又O1E=OO1·sin30°=，
⑴显然可得MN∥平面ABC，∵平面MNC平面ABC＝，∴MN∥
⑵∵PC⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC，作MQ⊥AC，则MQ⊥平面ABC，
作QD⊥于D，则MD⊥，MD的长即为M到的距离
在Rt△ACB中，可求得，又，∠QCD＝30?，
∴，，于是
20．⑴作AO⊥BC交BC的延长线于O，∵面ABC⊥面BCD，∴OA⊥面BCD，连OD，则∠ADO就是AD与平面BCD所成的角，可求得∠ADO＝45?
⑵作OE⊥BD于E，连AE，则BD⊥AE，
∴∠AEO就是二面角A－BD－C的平面角的补角，
∵∠ABO＝60?，∴，，∵∠EBO＝60?，∴
在Rt△AOE中，，∴二面角A－BD－C的正切值为－2
21. （1）证明：取CD中点M，连结OM，在矩形ABCD中
，又，则。连结EM，
于是四边形EFOM为平行四边形
∴ FO//EM
又 ∵ FO平面CDE，且EM平面CDE，∴ FO//平面CDE
（2）证明：连结FM，由（1）和已知条件，在等边中，CM=DM，EM⊥CD且。因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM
∵ CD⊥OM，CD⊥EM ∴ CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO
而FMCD=M，所以平面CDF
22（I）证明：连结OC
在中，由已知可得
而
即
平面
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，
是直角斜边AC上的中线，
异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设点E到平面ACD的距离为
在中，
而
点E到平面ACD的距离为