：5.3实数与向量的积综合练习
目的：通过练习使对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：一、：1．实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点)
2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）
1．当λZ时，验证：λ( + )=λ +λ
证：当λ=0时，左边=0•( + )= 右边=0• +0• = 分配律成立
当λ为正整数时，令λ=n, 则有：
n( + )=( + )+( + )+…+( + )
= + +…+ + + + +…+ =n +n
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有
n( + )=n[( + )]=n[( )+( )]=n( )+n( )=n +(n )=n n
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ( + )=λ +λ 恒成立 。
2．如图，在△ABC中， = , = AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
解一：∵ = , = 则 = =
∴ = + = + 而 =
∴ = +
解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC
= = = =
= =
∴ = + = +
3．在 ABCD中，设对角线 = ， = 试用 , 表示 ，
解一： = = = =
∴ = + = =
= + = + = +
解二：设 = ， =
则 + = + = ∴ = ( )
= = = ( + )
即： = ( ) = ( + )
4．设 , 是两个不共线向量，已知 =2 +k , = +3 , =2 , 若三点A, B, D共线，求k的值。
解： = =(2 )( +3 )= 4
∵A, B, D共线 ∴ , 共线 ∴存在λ使 =λ
即2 +k =λ( 4 ) ∴ ∴k=8
5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB中点，设 = , = ，试以 , 为基底表示 , ,
解： = = 连ND 则DC?ND
∴ = = =
又： = =
∴ = = =
=( + ) =
6．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30, 60角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
=1 (kg) P1OP=60 P2OP=30
∴ = cos60=1• =0.5 (kg)
= cos30=1• =0.87 (kg)
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg
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