逍遥学能 2014-10-09 19:48
一：选择题
1．已知，则则A等于 （ ）
A．15 B． C． D．225
2．若0＜a＜1，且函数，则下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知则的值等于( )
A．0 B． C． D．9
4．若，则（ ）
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c
5．已知实数a、b满足等式，下列五个关系式： ① 0<a<b<1；② 0<b<a<1； ③ a=b；④ 1<a<b；⑤ l<b<a．其中不可能成立的关系式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若0＜a＜1，且函数，则下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知：的不等实根一共有（ ）
A、1个 B、2 个 C、3 个 D、4个
8．在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），它表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数．例如：．设函数，则函数的值域为 （ ）
A. B. C. D.
9．曲线在原点处的切线方程为
A. B. C. D.
10.设函数 有（ ）
A．分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）内的三个根
B.四个实根
C.分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）内的四个根
D.分别位于区间（0，1）（1，2），（2，3），内的三个根
11．函数的导数是（ ）
A． B. C. D.
12．与定积分相等的是（ ）
A． B. C. - D. +
二：填空题
13．由曲线所围成的图形面积是 .
14．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示，则该汽车在前3小时内行驶的路程为_________km，假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2006km，那么在时，汽车里程表读数与时间的函数解析式为__________。
15. 函数f(x)=x3－3x2＋6x－7的图象是中心对称图形, 其对称中心的坐标为_________ 。
16．给出下列四个命题：
①函数（且）与函数（且）的定义域相同；
②函数与的值域相同；
③函数与都是奇函数；
④函数与在区间[0，＋）上都是增函数。
其中正确命题的序号是_____________。（把你认为正确的命题序号都填上）
三：解答题
17．（12分）设f (x)＝lg(ax2－2x＋a),
(1) 如果f (x)的定义域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围；
(2) 如果f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围。
18．（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米。
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
19.（12分）设, 点P是函数的图象的一个公共点, 两函数的图象在点P处有相同的切线.
(1) 用表示a, b, c;
(2) 若函数在上单调递减，求的取值范围.
20．（12分）设函数, 其中,是的导函数.
(1)若,求函数的解析式;
(2)若,函数的两个极值点为满足. 设, 试求实数的取值范围.
21．（14分）已知函数，，且有极值．
（1）求实数的取值范围；
（2）求函数的值域；
（3）函数，证明：，，使得成立．
22．（12分）设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1），使得f（x）在[0， x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（1）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间；若f（x1）≤f（x2），则（x*，1）为含峰区间；
（2）对给定的r（0＜r＜0.5＝，证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r；
（3）选取x1，x2∈（0，1），x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
函数综合参考答案
一：选择题BDCB，BDDB，DAAC
二：填空题13．e－2 14．220； 15．(1,－3) 16．①③
三：解答题
17．解：(1) ∵f (x)的定义域是(－∞, ＋∞),
∴ 当x∈(－∞, ＋∞)时,都有ax2－2x＋a>0, 即满足条件a>0, 且△<0, 4－4a2<0, ∴a>1.（6分）
(2) ∵f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，即当x在定义域内取值时，可以使y∈(－∞, ＋∞).
要求ax2－2x＋a可以取到大于零的一切值，∴a>0且△≥0 (4－4a≥0)或a＝0,
解得0≤a≤1.……12分
18．解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗没（升）。……5分
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。……6分
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，
依题意得…………8分
令得
当时，是减函数；
当时，是增函数。
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值。………………………………11分
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。（12分）
19．解: (1) 因为函数, 的图象都过点, 所以,
即.因为 所以. ………………3分
又因为, 在点处有相同的切线, 所以
而……………………………………………5分
将代入上式得 因此故,,………………6分
(2) 解法一: .……8
当时, 函数单调递减.
由, 若; 若
由题意, 函数在上单调递减, 则
所以
又当时, 函数在上单调递减.
所以的取值范围为……………………………………………………12
解法二：
因为函数在上单调递减, 且是
上的抛物线, 所以 即解得
所以的取值范围为………………………………………………………12分
20．解: ………………………………………………1分
(Ⅰ)据题意,…………………………………2分
由知,是二次函数图象的对称轴
又, 故是方程的两根..............4分
设,将代入得
比较系数得:
故为所求.………………………………6分
(其它解法酌情记分)
另解：，…………………….1分
据题意得 ………3分 解得 …………………5分
故为所求.………………………………6分
(Ⅱ)据题意,,则
又是方程的两根,且
则 ………………………………………8分
则点的可行区域如图………………10分
的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点，A到直线的距离的平方为的最小值
故的取值范围是…………………………………………………………12分
21．解：（Ⅰ）由求导可得
……………………………………………………………………………… 1分
令 ……………………………………………………………… 2分
可得 ∵ ∴ ∴
又因为
+
0
—
单调递增
极大值
单调递减
所以，有极值 …………………………………… ……………………………………3分
所以，实数的取值范围为．……………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的极大值为………………………………5分
又∵ ， …………………………………………………………6分
由，解得
又∵
∴当时，函数的值域为………………… 7分
当时，函数的值域为． …………………………8分
（Ⅲ）证明：由求导可得
令，解得
令，解得或 ……………………………… 10分
又∵
∴在上为单调递增函数……………………………………………………12分
∵ ，
∴在的值域为∵ ，，
∴，
∴，，使得成立． …………………………14分
22（1）证明：设x*为f（x） 的峰点，则由单峰函数定义可知，f（x）在[0， x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减．
当f（x1）≥f（x2）时，假设x*（0，x2），则x1<x2<x*，从而f（x*）≥f（x2） >f（x1），这与f（x1）≥f（x2）矛盾，所以x*∈（0，x2），即（0，x2）是含峰区间.
当f（x1）≤f（x2）时，假设x*（ x2，1），则x*<≤x1<x2，从而f（x*）≥f（x1）>f（x2），
这与f（x1）≤f（x2）矛盾，所以x*∈（x1，1），即（x1，1）是含峰区间.……4分
（2）证明：由（I）的结论可知：
当f（x1）≥f（x2）时，含峰区间的长度为l1＝x2；当f（x1）≤f（x2）时，含峰区间的长度为l2=1－x1；
对于上述两种情况，由题意得
①
由①得1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r.
又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r， ②
将②代入①得x1≤0.5－r， x2≥0.5－r， ③
由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5＋r．
所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r．…………………………………………8分
（3）解：对先选择的x1；x2，x1<x2，由（II）可知x1＋x2＝l， ④
在第一次确定的含峰区间为（0， x2）的情况下，x3的取值应满足x3＋x1＝x2， ⑤
由④与⑤可得，当x1>x3时，含峰区间的长度为x1．
由条件x1－x3≥0.02，得x1－（1－2x1）≥0.02，从而x1≥0.34．
因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．…12分