逍遥学能 2014-09-28 14:58
Blockvotia的国民议会刚统计完了对Palmgreasing Slushfund议案的投票情况，总统Freebie Perks满脸的不高兴。他的私人秘书Penelope Poundpincher施展浑身解数拼命安慰他。
“Penny,你曾告诉我6个地区中有4个地区（包括最大的那个地区）支持此议案。那我们怎么输了呢？”
“这是由于加权投票制度的缘故，先生。你知道，每个地区孝分配了与其人口数大致成比例的一定票数。这是说明详细分配情况的一张表（见图1）。总的票数为31。因此，任何一个拥有16张票（即比总票数的一半多一张票）的联盟将能够左右选举的结果。
Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和Porkney群岛对议案投了赞成票。我已经说过，这正好是6个地区中的4个，而且包括了最大的一个。且它们合起来仅有15票，而反对议案的两个地区却有16票。”
“总统选举下个月就要进行，我不希望这一情况重演。如果我们让边界委员会给Sheepshire加一票，而使Candlewick减一票——”
Penny把头摇得像拨浪鼓。“我不主张这样做，先生。Richfolk和Candkewick这两个区都赞成你连任。Sheepshire犹豫不决，而另外三个地区则反对你连任。Richfolk和Candlewick可以挫败另外4个区组成的联盟，但如果你从这两个区中任一个区减去一票的话，那情况就不同了。”
这时有人敲门。Porkney群岛的代表Charlie Hogg冲了进来。“总统先生，这场滑稽戏不能再继续演下去了！”
“什么滑稽戏？”
“你所谓的民主投票制度，Porkney群岛毫无权力。
“但你们拥有一票，这是与你们的人口成比例的。Slurrey的人口比你们还多，也只有一票。你们拥有的权力实际上比Slurrey还多。”
“不对。任何投票的结果都完全被三个最大的地区所左右。这三个地区至少有两个将投相同的票，而它们合起来的票数至少同Richfolk和Candlewick（分别是第二大和第三大的地区）拥有的总票数一样多。这就有了16票，居于多数地位。在任何一次投票中，即使3个最小的地区一票也不投，也会得到相同的结果！”
“我明白了。但我能把它怎么样呢？”
“再给我们一票！这样至少3个最小的地区就可以同Sheepshire联合起来打出一个平局。如果你再给Slurrey也加一票，那么我们就可以结成一个获胜的联盟了（见图1）。”
“我明白你的意思。这样总票数就是33”，Penny说。“这样有17票或17票以上就可以得胜。Fiddlesex,Slurrey,Porkney群岛和Sheepshire结成联盟，能够赢得投票。”
“不错！三个最小的地区中的任何一个才能够改变投票的结果——它们将拥有力量均势！”
这时边界委员会的联络官Gerry Mander走了进来。Perks问他：“Gerry，边界委员会能否重新划定各区的边界，使Slurrey和Porkney群岛各多得一票？”
Cerry Mander摇了摇头。“Slurrey区还可想点办法。但Porkney是群岛就不好办了。”
Hogg咆哮起来：“我的选民们会不高兴的。”
总统叽咕着说：“是会不高兴。不过，正如你说的那样，这没有什么用，因为你的地区毫无权力。我看你最好不要发出无法兑现的威胁，Hogg。”
“单是三个选区就可以把你赶下台，这种情况也不会使你感到舒服。你必定能够想点什么办法。”
“我可以再给Sheepshire两票。能办到吗，Gerry？”
“没问题。区界沿着Wastedump河弯弯曲曲地延伸。我们很容易把它改合理一些。”。
“但是给最大的地区再加几票不可能帮助最小的地区获得一份权力呀！”Hogg伤心地叫道。
Perks说：“恰恰相反，如果Sheepshire再多两票的话，你就会得到一份权力（见图1的右图）。”
“不错”，Penny边说边看着这些数字，“这同一个联盟共拥有33票中的17票；依然是最小的三个地区中的每一个都可以声称自己掌握着力量均势。”
“这真是妙极了”，Hogg说，“你给了Sheepshire更多的权力，其中部分权力却鬼使神差般地影响到我们。”
“不，Hogg。我们并没有给Sheepshire更多的权力——我们只是给他们更多的选票”，Penny吸了一口气说，“正如你说的那样，权力和选票并不是一回事。”
“怎么会是这样？”Perks问道，“如果权力不是选票，那它是什么？我需要知道这一点。权力赢得选举。”
“我认为你需要Banzhaf权力指数，先生”，Penny说，“John F.Banzhaf是乔治敦大学的一位法律专家。1965年他提出了在加权投票体制中衡量代表所拥有的权力的一种方法。他的设想是，一位代表可以通过加入一个看来要输掉的联盟使其转败为胜。或者背弃一个看来要获胜的联盟使其转胜为败而显示其权力。”
“这不是同一回事吗？”
“是同一回事，先生。如果你加入一个联盟，你同时也就背弃了由其他所有人组成的另一个联盟。所以我们只需要考虑一种情况就够了——比如说考虑建立一个获胜的联盟。假定某一位代表在联盟中起着关键性的作用：有了她则联盟赢得投票，失去她则联盟输掉投票。任何一位代表的Banzhaf权力指数就是她在其中恰好起着这样一种作用的联盟的数目。”
“我们原先的投票体制是一个（16；10，9，7，3，1，1）体制。获得多数所需的票数为16票。各人代表的加权为10，9，7，3，1和1。Porkney仅能在恰好有16票的联盟中起着关键作用。如果这种联盟有更多选票，那么Porkney是否背弃它对投票结果不会有任何影响。如果其票数少于16票，则它就不是一个获胜联盟了。但是Porkney所属的任何一个联盟其选票总数均不等于16票，因此Porkney的权力指数为零。按照总统提出的新方案，我们将有一个（17；12，9，7，3，1，1）投票体制。Porkney在其所属的任何一个恰好有17票的联盟中起着关键作用。这种联盟正好有一个，即由Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和Porkney组成的联盟。因此，Porkney的权力指数为2。”
“那么Sheepshire的权力指数为多少？”Perks问。
“Sheepshire有12票，因此它在它加入的任何一个拥有17票到28票（即17－1＋12票），的联盟中起着关键作用。你可以通过试错法列出这些联盟（见图2）。这种联盟共有18个，因此Sheepshire的权力指数为18。”
Hogg叫了起来：“Sheepshire的人口是我们的人口的12倍，可他们的权力却只有我们的权力的9倍。”
Gerry问道：“有没有比试错法更好的计算权力指数的方法呢？”
Penny说：“嗯，对于大的投票体系，最好的办法是使用计算机。不过，对于小的投票体系（比如我们这一个），有一种巧妙的图解法。假定此体系是（3；2，1，1），这就是说，有三位投票人：A，B和C。A有两票，B和C各有一票，且3票构成多数。”
“首先画出一个显示出所有可能的联盟的点阵图；如果这些联盟仅相关一个成员，则把它们用一条边联接起来。在每条边上标以非两个联盟所共有的那个成员。然后标出每一条关键的边——也说是总票数从低于多数票变成等于多数票或高于多数票的那些边。任何一位成员的权力指数就是其上标有它的名字的那些边的数目。在这个例子中，A出现在3条关键边上，因此它的权力指数为3；B和C则各出现在一条关键边上，因此其权力指数均为1。这个点阵图是个立方体。对于更大的系统，你也可以画出点阵图，但是看起来就有点零乱了。不过四个成员的点阵图还是有点漂亮的（见图3）。”
Hogg说：“我希望的是每个成员拥有的权力指数大致同其人口成比例。”
“这可不那么容易办到”，Penny说，“让我向你说明纽约州汤普金斯县议会1982年是如何做到这一点的。权力指数几乎正好与人口成比例（见图2）。”
“我们也可试试看”，Hogg提议说。
“或许可以吧”，总统慢条斯理地说，“你对美国总统的权力指数作过研究吗，Penny？”
“是的，先生。美国总统的权力指数为一位参议员的权力指数的40倍，为一位众议员的权力指数的175倍。”
“这听起来很不错。”
“不过美国立法机构作为一个总体，其权力大约为总统的权力的两倍半。”
Freebie Perks盯着她有片刻，然后无所畏惧地正视着Hogg说：“我想我们会坚持现行的制度。”
纽约州汤普金斯县议会（1982年）
自治地区
人口
权重
权力指数
权力指数／人口
LANSING
DRYDEN EAST
ENFIELD & NEWFIELD
ITHACA WARD 3
ITHACA WARD 4
ITHACA SOUTHEAST
ITHACA WARD 1
ITHACA WARD 2
ITHACANORTHEAST
GROTON
CAROLINE & DANBY
ITHACA AWRD 5
ITHACA WEST
ULYSSES
DRYDEN WEST
8.317
7.604
6.776
6.550
6.002
5.932
5.630
5.378
5.235
5.213
5.203
5.172
4.855
4.666
4.552
404
333
306
398
374
470
261
246
241
240
240
238
224
214
210
4.747
4.402
3.934
3.806
3.474
3.418
3.218
3.094
3.022
3.006
3.006
2.978
2.798
2.666
2.622
0.571
0.579
0.581
0.581
0.579
0.576
0.572
0.575
0.577
0.577
0.578
0.576
0.576
0.571
0.576