逍遥学能 2014-09-03 17:45
一、选择题
1.(2009广东文)已知中，的对边分别为，若且，则( ).
A.2 B.4＋ C.4― D.
考查目的：考查正弦定理、两角和的三角函数公式、三角形内角和定理.
答案：A.
解析：，由可知，，所以，.由正弦定理得.
2.(2012天津理)在中，角的对边分别是，已知，，则( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查正弦定理、余弦定理、二倍角正弦公式、二倍角余弦公式.
答案：A
解析：∵，∴由正弦定理得，又∵，∴，∵，∴，∴.
3.(2010天津理)在中，角的对边分别是，若，，则( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查正弦定理与余弦定理的基本应用.
答案：A
解析：∵，∴由正弦定理得，∴ ，∴.
4.(2010湖南文)在中，角所对的边长分别为，若，，则( ).
A. B. C. D.与的大小关系不能确定
考查目的：本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法.
答案：A.
解析：∵，，∴根据余弦定理得，即，∴，∴.
5.在中，为锐角，，则为( ).
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
考查目的：考查对数的运算性质、正弦定理、特殊角的三角函数值、两角和与差的三角函数公式.
答案：D.
解析：根据对数的运算性质得，∴.∵为锐角，∴.由正弦定理得，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形.
6.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是 ( ).
A.(1，2) B. C. D.
考查目的：考查三角形的性质、不等式的性质、正切函数的性质、正弦定理、两角差的正弦公式、特殊角的三角函数值等知识.
答案：B.
解析：设三角形三内角从小到大分别为，根据题意得，由得，，∴，根据正弦定理，.
二、填空题
7.(由2008全国卷Ⅰ文改编)设的内角所对的边长分别为，且，，则 .
考查目的：考查正弦定理、同角三角函数的基本关系式，以及分析问题解决问题的能力．
答案：5.
解析：由已知两式相除，并根据正弦定理得，∴为锐角，由得，代入得.
8.(2012北京理)在中，若，，，则 .
考查目的：考查余弦定理及运算求解能力.
答案：4.
解析：由余弦定理得，所以，，即，与联立，解得.
9.在锐角三角形中，内角所对的边长分别为，若，，，则 .
考查目的：考查同角三角函数的基本关系式、余弦定理、三角形面积公式及运算求解能力.
答案：.
解析：∵，为锐角，∴；由，得.又由余弦定理得，，将代入并化简整理得，解得.
10.在中，内角所对的边长分别为，若，，三角形面积，则= .
考查目的：考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及比例的性质.
答案：2.
解析：由，，得，.又由余弦定理得，，∴，根据正弦定理及比例性质得 .
11.(2012安徽理)设的内角所对的边分别为，则下列命题正确的是 .
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则.
考查目的：考查余弦定理、不等式的性质和基本不等式、余弦函数的单调性，考察综合运用知识分析问题解决问题的能力.
答案：①②③
解析：①若，则，∴，故①为真；②若，则，∴，故②为真；③∵，∴为最大边；两边同除以得，∵，∴，∴，∴，故③为真；④若，则，∴，由①得，故④为假；⑤若，则 ，∴，故⑤为假. (注：对④⑤，也可举出反例推翻)
三、解答题：
12.(2010安徽文)的面积是，内角所对边长分别为，.
⑴求；
⑵若，求的值.
考查目的：考查同角三角函数的基本关系式、三角形面积公式、向量的数量积、利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.
答案：⑴，⑵.
解析：由，得. 又∵，∴.
⑴.
⑵，∴.
13.(2009辽宁理)如图，都在同一个与水平面垂直的平面内，为两岛上的两座灯塔的塔顶. 测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，于水面处测得点和点的仰角均为，. 试探究图中间距离与另外哪两点间距离相等，然后求的距离.(计算结果精确到，参考数据：，)
考查目的：考查特殊三角形的性质、线段的垂直平分线性质、利用正弦定理解三角形，以及分析问题解决问题的能力.
答案：，.
解析：在中，∵， ，∴. 又∵，∴是等腰底边的中垂线，∴.
在中，由得，∴. 即的距离约为.
14.(2008全国卷)在中，.
⑴求的值；
⑵设的面积，求的长.
考查目的：考查解三角形、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数，考查运算求解能力.
答案：⑴，⑵.
解析：⑴由，得，，，∴ .
⑵由得，由⑴知，故， 又，故，．所以．
15.已知的角所对的边分别为，面积为，，.
⑴若，求；
⑵若为锐角，，求的取值范围.
考查目的：考查正弦定理、三角形面积公式、三角恒等变形、三角函数的性质以及运算求解能力.
答案：⑴，⑵.
解析：⑴ ∵，，，∴根据正弦定理得，∵，∴.
⑵由得，的外接圆半径，∴ ；∵，∴，；又∵为锐角，∴，∴.