逍遥学能 2014-07-13 10:59
南通市海安县2012-2013学年八年级（上）期中数学试卷
一、（每题2分，满分20分）
1．（2分）在实数 ，0.3， ， ， ，?3， 中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：无理数．.
分析：根据无理数的定义即可判定选择项．
解答：解：在实数 ，0.3， ， ， ，?3， 中，
根据无理数的定义可得，无理数有 ， ， 三个．
故选C．
点评：此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的要开不尽方的才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（2分）下列说法不正确的是（ ）
A．1的平方根是±1B．?1的立方根是?1
C． 是2的平方根D．?3是 的平方根
考点：立方根；平方根．.
分析：A、根据平方根的定义即可判定；
B、根据立方根的定义即可判定；
C、根据平方根的定义即可判定；
D、根据平方根的定义即可判定．
解答：解：A、1的平方根是±1，故选项正确；
B、?1的立方根是?1，故选项正确；
C、 是2的平方根，故选项正确；
D、 =3，故选项D错误．
故选D．
点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．（2分）（2011•呼伦贝尔）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
考点：全等三角形的性质．.
分析：本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．
解答：解：∵△ACB≌△A′CB′
∴∠ACB=∠A′CB′
即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，
∴∠ACA′=∠B′CB，
又∠B′CB=30°
∴∠ACA′=30°．
故选B．
点评：本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．
4．（2分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B=∠CB．AD⊥BCC．AD平分∠BACD．AB=2BD
考点：等腰三角形的性质．.
专题：几何图形问题．
分析：此题需对第一个选项进行验证从而求解．
解答：解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点
∴∠B=∠C，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
A、B、C三项正确，D不正确．
故选D．
点评：此题主要考查了等腰三角形的性质，其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键．
5．（2分）已知A，B两点的坐标分别是（?2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A，B关于x轴对称；②A，B关于y轴对称；③A，B关于原点对称；④A，B之间的距离为4，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．.
分析：关于横轴的对称点，横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点，纵坐标相同，横坐标变成相反数；A，B两点的坐标分别是（?2，3）和（2，3），纵坐标相同，因而AB平行于x轴，A，B之间的距离为4．
解答：解：正确的是：②A，B关于y轴对称；④若A，B之间的距离为4．
故选B．
点评：本题考查的是如何利用点的坐标判断两点关于x轴，y轴是否对称．
6．（2分）（2013•黔西南州）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（ ）
A．x＜ B．x＜3C．x＞ D．x＞3
考点：一次函数与一元一次不等式．.
专题：压轴题．
分析：先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（，3），求出的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．
解答：解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（，3），
∴3=2，
= ，
∴点A的坐标是（ ，3），
∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜ ；
故选A．
点评：此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．
7．（2分）（2011•衢州）如图，OP平分∠ON，PA⊥ON于点A，点Q是射线O上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点：角平分线的性质；垂线段最短．.
分析：根据题意点Q是射线O上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直O，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．
解答：解：过点P作PQ⊥O，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠ON，PA⊥ON，PQ⊥O，
∴PA=PQ=2，
故选B．
点评：此题主要考查了角平分线的性质，本题的关键是要根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，找出满足题意的点Q的位置．
8．（2分）若点（x1，y1）和（x2，y2）都在直线y=?3x+5上，且x1＞x2，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．y1≤y2
考点：一次函数图象上点的坐标特征．.
分析：k＞0，随x增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小．
解答：解：k=?3＜0，y将随x的增大而减小．
∵x1＞x2，∴y1＜y2．
故选B．
点评：本题考查一次函数的图象性质，比较简单．
9．（2分）如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（ ）
A．90°B．75°C．70°D．60°
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．.
分析：根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
解答：解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°?（∠CBD+∠BDC）=180°?60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°?∠BCD?∠BCA=180°?120°?15°=45°，
∴∠CDE=180°?（∠ECD+∠CED）=180°?90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°?∠CDE?∠BDC=180°?90°?30°=60°，
∴∠DEF=180°?（∠EDF+∠EFC）=180°?120°=60°．
故选D．
点评：主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
10．（2分）（2008•枣庄）如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=?x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（ ，? ）C．（ ，? ）D．（? ， ）
考点：坐标与图形性质；垂线段最短；等腰直角三角形．.
专题：；压轴题．
分析：线段AB最短，说明AB此时为点A到y=?x的距离．过A点作垂直于直线y=?x的垂线AB，由题意可知：△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，有OC=BC= ，故可确定出点B的坐标．
解答：解：过A点作垂直于直线y=?x的垂线AB，
∵点B在直线y=?x上运动，
∴∠AOB=45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
过B作BC垂直x轴垂足为C，
则点C为OA的中点，
则OC=BC= ．
作图可知B在x轴下方，y轴的右方．
∴横坐标为正，纵坐标为负．
所以当线段AB最短时，点B的坐标为（ ，? ）．
故选B．
点评：动手操作很关键．本题用到的知识点为：垂线段最短．
二、题（每小题3分，共30分）
11．（3分）（2013•沛县一模）函数y= 中自变量x的取值范围是 x≤5 ．
考点：函数自变量的取值范围．.
分析：根据二次根式的性质列出不等式，求出不等式的取值范围即可．
解答：解：若使函数y= 有意义，
∴5?x≥0，
即x≤5．
故答案为x≤5．
点评：本题主要考查了函数自变量取值范围的知识点，注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（3分）点P（5，?3）关于x轴对称的点的坐标为 （5，3） ．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．.
分析：熟悉：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，?y）．
解答：解：根据轴对称的性质，得点P（5，?3）关于x轴对称的点的坐标为（5，3）．
点评：本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．
记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
13．（3分）△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为18．若AB=5，EF=6，则AC= 7 ．
考点：全等三角形的性质．.
专题：探究型．
分析：直接根据全等三角形的对应边相等进行解答即可．
解答：解：∵△ABC≌△DEF，AB=5，EF=6，
∴BC=EF=6，
∴AC=18?AB?BC=18?5?6=7．
故答案为：7．
点评：本题考查的是全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等．
14．（3分）（2011•嘉兴）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则△ABC的外角∠BCD= 110 度．
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．.
专题：．
分析：根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠B，∠根据三角形的外角性质即可求出答案．
解答：解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠A=40°，
∴∠B=∠ACB= （180°?∠A）=70°，
∴∠BCD=∠A+∠B=40°+70°=110°，
故答案为：110．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能求出∠B的度数是解此题的关键．
15．（3分）若+3与?1是同一个正数的两个平方根，则的值是 ?1 ．
考点：平方根．.
分析：根据同一个正数的两个平方根互为相反数可以列出关于的方程，解方程即可．
解答：解：∵+3与?1是同一个正数的两个平方根，
∴+3=?（1?），
解得：=?1．
故答案为：?1．
点评：本题考查了平方根的性质，同一个正数的两个平方根互为相反数．
16．（3分）一个等腰三角形有两边分别为5和8厘米，则周长是 18或21 厘米．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．.
分析：题目给出等腰三角形有两条边长为5c和8c，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解答：解：∵等腰三角形两边为5和8厘米
∴等腰三角形三边可能为5，5，8或5，8，8
∴周长可能为18或21厘米．
故填18或21．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
17．（3分）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，BC=3c，AB= 6 c．
考点：直角三角形的性质．.
分析：根据直角三角形的性质即可解答．
解答：解：如图：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A
∴∠A+∠B=90°
∴∠A=30°，∠B=60°
∴ = ，
∵BC=3c，
∴AB=2×3=6c．
故答案：6．
点评：此题较简单，只要熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半即可解答．
18．（3分）（2012•衡阳）如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，?2），则kb= ?8 ．
考点：两条直线相交或平行问题．.
分析：根据两条平行直线的解析式的k值相等求出k的值，然后把点A的坐标代入解析式求出b值，再代入代数式进行计算即可．
解答：解：∵y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行，
∴k=2，
∵y=kx+b的图象经过点A（1，?2），
∴2+b=?2，
解得b=?4，
∴kb=2×（?4）=?8．
故答案为：?8．
点评：本题考查了两直线平行的问题，根据两平行直线的解析式的k值相等求出k=2是解题的关键．
19．（3分）（2011•衡阳）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：
①y随x的增大而减小；
②b＞0；
③关于x的方程kx+b=0的解为x=2．
其中说法正确的有 ①②③ （把你认为说法正确的序号都填上）．
考点：一次函数的性质；一次函数的图象；一次函数与一元一次方程．.
专题：综合题．
分析：根据一次函数的性质，结合一次函数的图形进行解答．
解答：解：①因为一次函数的图象经过二、四象限，所以y随x的增大而减小，故本项正确
②因为一次函数的图象与y轴的交点在正半轴上，所以b＞0，故本项正确
③因为一次函数的图象与x轴的交点为（2，0），所以当y=0时，x=2，即关于x的方程kx+b=0的解为x=2，故本项正确
故答案为①②③．
点评：本题主要考查一次函数的性质、一次函数的图象、一次函数与一元一次方程，关键是要熟练掌握一次函数的所有性质
20．（3分）（2007•烟台）观察下列各式： …请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来 （n≥1） ．
考点：规律型：数字的变化类．.
专题：压轴题；规律型．
分析：观察分析可得： =（1+1） ； =（2+1） ；…则将此题规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来是 =（n+1） （n≥1）．
解答：解： =（n+1） （n≥1）．
点评：本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．本题的关键是根据数据的规律得到 =（n+1） （n≥1）．
三、解答题（共50分）
21．（6分）（1）计算： ．
（2）解方程：4（x?3）2=9．
考点：实数的运算；平方根．.
专题：计算题．
分析：（1）根据二次根式的性质、立方根与算术平方根得到原式=3?4?2，然后进行加减运算；
（2）先变形为（x?3）2= ，根据平方根定义得到x?3=± ，然后解一次方程即可．
解答：解：（1）原式=3?4?2=?3；
（2）∵（x?3）2= ，
∴x?3=± ，
∴x= 或x= ．
点评：本题考查了实数的运算：先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．也考查了平方根．
22．（6分）如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，5），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出点B和点C的坐标；
（3）作出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′．（不用写作法）
考点：作图-轴对称变换．.
专题：作图题．
分析：（1）根据点A的坐标为（0，5），即可建立正确的平面直角坐标系；
（2）观察建立的直角坐标系即可得出答案；
（3）分别作点A，B，C关于x轴的对称点A′，B′，C′，连接A′B′，B′C′，C′A′则△A′B′C′即为所求．
解答：解：（1）所建立的平面直角坐标系如下所示：
（2）点B和点C的坐标分别为：B（?3，1）C（1，3）；
（3）所作△A'B'C'如上图所示．
点评：本题考查了轴对称变换作图，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
23．（4分）如图，小明在完成数学作业时，遇到了这样一个问题，AB=CD，BC=AD，请说明：∠A=∠C的道理，小明动手测量了一下，发现∠A确实与∠C相等，但他不能说明其中的道理，你能帮助他说明这个道理吗？试试看．
考点：全等三角形的判定与性质．.
专题：型．
分析：已知BC=AD，不能作为证明△OAB，△OCD全等的对应边的条件，通过作辅助线，把他们放到两个三角形中，作为对应边．
解答：解：∵AB=CD，BC=AD，
又∵BD=DB，
在△ABD和△CDB中
，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠A=∠C．
点评：本题考查了全等三角形的判定及性质；需要把相等的线段，通过转化，放到两个三角形中，作为对应边，证明三角形全等．
24．（5分）如图，折线ABC是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间关系的图象（注意：通话时间不足1分钟按1分钟计费）．
（1）通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？
（2）通话多少分钟内，所支付的电话费一样多？
（3）通话3.2分钟应付电话费多少元？
考点：一次函数的应用．.
分析：（1）观察图象，可知当0＜t≤3时，y=2.5，得出t=1时对于的y值；C点的纵坐标的值即为通话5分钟时要付的电话费；
（2）此段时间内所付电话费不因为时间而改变，即图象与横轴平行，得出结果；
（3）当t≥3时，y是t的一次函数，用待定系数法求出解析式，把t=4代入，求出答案．
解答：解：（1）根据图象可知，通话1分钟时，要付电话费2.5元，通话5分钟时，要付费4.5元；
（2）根据图象可知，通话3分钟内，所支付的电话费一样多；
（3）当t＞3时，设y=kt+b
把B（3，2.5），C（5，4.5）代入
得
解得 ，
y=t?0.5
当t=4时，y=3.5．
点评：此题比较复杂，关键是正确理解题意，然后分析图形要分清不同时间段，电话费的不同找出函数关系式进行解答．
25．（5分）已知2a+1的平方根是±3，5a+2b?2的算术平方根是4，求：3a?4b的平方根．
考点：算术平方根；平方根．.
专题：计算题．
分析：根据已知得出2a+1=9，5a+2b?2=16，求出a b，代入求出即可．
解答：解：根据题意得：2a+1=32=9，5a+2b?2=16，
即a=4，b=?1，
∴3a?4b=16，
∴3a?4b的平方根是± =±4．
答：3a?4b的平方根是±4．
点评：本题考查了平方根和算术平方根的应用，关键是根据题意列出算式．
26．（7分）已知直线y=kx+6经过点C（3，0）．
（1）求k的值；
（2）点A（?2，a）、B（0.5，b）在直线y=kx+6的图象上，试比较a、b的大小．
（3）求S△BCO．
考点：待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．.
分析：（1）利用待定系数法把C点坐标代入y=kx+6即可算出k的值；
（2）根据一次函数的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小进行判断即可；
（3）首先计算出B点坐标，再根据三角形的面积公式计算出答案即可．
解答：解：（1）把点（3，0）代入y=kx+6，得：0=3k+6，
解得：k=?2；
（2）∵k=?2，
∴函数值y随x的增大而减小，
又∵?2＜0.5，
∴a＞b；
（3）把B（0.5，b）代入函数y=?2x+6中，
解得：b=5，
则B（0.5，5），
S△BOC= ×CO×5= ×3×5=7.5．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，关键是掌握待定系数法，计算出一次函数解析式．
27．（7分）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离之和最小，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，并求出它的坐标．
考点：轴对称-最短路线问题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；作图—基本作图．.
专题：计算题；作图题．
分析：（1）作A关于x轴的对称点A′，连接A′B即可；
（2）求出A′的坐标，设直线A'B的解析式为y=kx+b，求出直线A′B的解析式，再求出直线与x轴的交点坐标即可．
解答：解：（1）如图所示，作A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于C，则点C为所求；
（2）由图可知，点A'（2，?2），
设直线A'B的解析式为y=kx+b，则有
，
解得 ，
∴直线A'B的解析式为y=x?4，
设点C坐标为（a，0），并代入y=x?4，得：
0=a?4，
解得：a=4，
∴点C坐标为（4，0）．
点评：本题考查了解二元一次方程组，作图与基本作图，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称?最短路线问题等知识点的应用，解（1）小题的关键是理解题意找出C点；解（2）小题的关键是在（1）基础上求出直线A′B的解析式，此题是一道比较好的题目，具有代表性，难度不大．
28．（10分）如图，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．
考点：一次函数综合题．.
分析：先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC的解析式．
解答：解：∵一次函数 中，令x=0得：y=2；
令y=0，解得x=3．
∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（3，0）．
作CD⊥x轴于点D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO
又∵AB=AC，∠BOA=∠CDA=90°
∴△ABO≌△CAD，
∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5．
则C的坐标是（5，3）．
设BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得： ，
解得 ．
则BC的解析式是：y= x+2．
点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定定理与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．