逍遥学能 2014-06-16 12:09
第一章 勾股定理检测题
本检测题满分：100分，时间：90分钟
一、（每小题3分，共30分）
1. 在△ 中， ， ， ，则该三角形为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
2.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来
的（ ）
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
3.下列说法中正确的是（ ）
A.已知 是三角形的三边，则
B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C.在R t△ 中，∠ °，所以
D.在Rt△ 中，∠ °，所以
4.如图，已知正方形 的面积为144，正方形 的面积为169时，那么正方形 的面积为（ ）
A.313 B.144 C.169 D.25
5.如图，在Rt△ 中，∠ °， c， c，则其斜边上的高为（ ）
A.6 c B.8.5 c C. c D. c
6.下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为 B.三边长的平方之比为
C.三边长之比为 D.三内角之比为
7.如图，在△ 中，∠ °， ， ，点 在 上，且 ， ，则 的长 为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
8.如图，一圆柱高8 c，底面半径为 c，一只蚂蚁从点 爬到点 处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A.6 c B.8 c C.10 c D.12 c
9.如果一个三角形的三边长 满足 ，则这个三角形一定是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
10.在△ 中，三边长满足 ，则互余的一对角是（ ）
A.∠ 与∠ B.∠ 与∠ C.∠ 与∠ D.∠ 、∠ 、∠
二、题（每小题3分，共24分）
11.已知两条线段的长分别为5 c、12 c ，当第三条线段长为________时，这三条线段可以构成一个直角三角形.
12.在△ 中， c， c， ⊥ 于点 ，则 _______.
13.在△ 中，若三边长分别为9、 12、15，则以两个这样的三角形拼
成的长方形的面积为__________.
14. 如图，在Rt△ 中， ， 平分 ，交 于点 ，且 ， ，则点 到 的距离是________.
15.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数
是 .
16. 若一个直角三 角形的一条直角边长是 ，另一条直角边长比斜边
长短 ，则该直角三角形的斜边长为 ________.
17.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 c，则正方形 的面积之和为___________c2.
18.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐 角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了__ ______步路（假设2步为1 ），却踩伤了花草.
三、解答题（共46 分）
19.（6分）若△ 三边长满足下列条件，判断△ 是不是直角三角形，若是，请说明哪个角是直角.
（1） ;
（2） .
20.（6分）在△ 中， ， ， ． 若 ，如 图①，根据勾股定理，则 .若△ 不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想 与 的关系，并证明你的结论．
21.（6分）若三角形的三个内角的比是 ，最短边长为1，最长边长为2.
求：（1）这个三角形各内角的度数；
（2）另外一条边 长的平方.
22.（7分）如图，台风过 后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 处，已知旗杆原长16 ，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
23.（7分）观察下表：
列举猜想
3，4，5
5，12，13
7，24，25
… … … …
请你结合该表格及相关知识，求出 的值.
24.（7分）如图，折叠长方形的一边 ，使点 落在 边上的点 处， c，
c，求：（1） 的长；（2） 的长.
25.（7分）如图，长方体 中， ， ，一只蚂蚁从 点出发，沿长方体表面爬到 点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
第一章 勾股定理检测题参考答案
1. B 解析：在△ 中，由 ， ， ，可推出 .由勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形，故选B．
2.B 解析：设原直角三角形的三边长分别是 ，且 ，则扩大后的三角形的斜边长为 ，即斜边长扩大到原来的2倍，故
选B.
3.C 解析：A.不确定三角形是不是直角三角形，故A选项错误；B.不确定第三边是否为斜边，故B选项错误；C.∠C=90°，所以其对边为斜边，故C选项正确；D.∠B=90°，所以 ，故D选项错误.
4.D 解析：设三个正方形的边长依次为 ，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形，所以 ，故 ，即 .
5.C 解析：由勾股定理可知 c，再由三角形的面积公式，有
，得 .
6. D 解析：在A选项中，求出三角形的三个内角分别是30°，60°，90°；在B，C选项中，都符合勾股定理的条件，所以A，B，C选项中都是直角三角形.在D选项中，求出三角形的三个角分别是 所以不是直角三角形，故选D．
7.C 解析：因为Rt△ 中， ，所以由勾股定理得 .因为 ， ，所以 .
8.C 解析：如图为圆柱的侧面展开图，∵ 为 的中点，则 就是蚂蚁爬行的最短路径.∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，即蚂蚁要爬行的最短路程是10 c．
9.B 解析：由 ，整理，得 ，即 ，所以 ，符合 ，所以这个三角形一定是直角三角形.
10.B 解析：由 ，得 ，所以△ 是直角三角形，且 是斜边，所以∠B=90°，从而互余的一对角是∠ 与∠ .
11. c或13 c 解析：根据勾股定理，当12为直角边长时，第三条线段长为 ；当12为斜边长时，第三条线段长为 ．
12.15 c 解析：如图，∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线三线合一，
∴ .∵ ，∴ .
∵ ，
∴ （c）．
13.108 解析：因为 ，所以△ 是直角三角形，且两条直角边长分别为9、12，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为 .
14. 3 解析：如图，过点 作 于 .
因为 ， ， ，所以 .
因为 平分 ， ，所以点 到 的距离 ．
15.15 解析：设第三个数是 ，①若 为最长边，则 ，不是整数，不符合题意；② 若17为最长边，则 ，三边是整数，能构成勾股数，符合题意，故答案为：15．
16. 解析：设直角三角形的斜边长是 ，则另一条直角边长是 ．根据勾股定理，得 ，解得 ，则斜边长是 ．
17.49 解析：正方形A，B，C，D的面积之和是最大的正方形的面积，即49 ．
18.4 解析：在Rt△ABC中， ，则 ，少走了 （步）．
19.解：（1）因为 ，
根据三边长满足的条件，可以判断△ 是直角三角形，其中∠ 为直角.
（2）因为 ，所以
，
根据三边长满足的条件，可以判断△ 是直角三角形，其中∠ 为直角.
20.解：如图①，若△ 是锐角三角形，则有 .证明如下：
过点 作 ，垂足为 ，设 为 ，则有 .在Rt△ACD中，
根据勾股定理，得AC2 CD2=AD2，即b2 x2= AD2. 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD2=AB2 BD2，即AD2= c2 (a x)2，即 ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ .
如图②，若△ 是钝角三角形， 为钝角，则有 . 证明如下：
过点 作 ，交 的延长线于点 .
设 为 ，在Rt△BCD中，根据勾股定理，得 ，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD2+ BD2= AB2，即 ．
即 .
∵ ，∴ ，∴ .
21.解：（1）因为三个内角的比是 ，
所以设三个内角的度数分别为 .
由 ，得 ，
所以三个内角的度数分别为 .
（2）由（1）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为1，斜边长为2.
设另外一条直角边长为 ，则 ，即 .
所以另外一条边长的平方为3.
22.分析：旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的位置求出．
解：设旗杆未折断部分的长为 ，则折断部分的长为 ，
根据勾股定理,得 ，
解得： ，即旗杆在离底部6 处断裂．
23.分析：根据已知条件可找出规律 ；根据此规律可求出 的值．
解：由3，4，5： ；
5，12，13： ；
7，24，25： .
故 ， ，
解得 ， ，即 .
24.分析：（1）由于△ 翻折得到△ ，所以 ，则在Rt△ 中，可求得 的长，从而 的长可求；
（2）由于 ，可设 的长为 ，在Rt△ 中，利用勾股定理求解直角三角形
即可．
解：（1）由题意,得 (c)，
在Rt△ 中，∵ ，∴ (c)，
∴ （c）． （2）由题意,得 ，设 的长为 ，则 .
在Rt△ 中，由勾股定理,得 ，
解得 ，即 的长为5 c．
25.分析：要求蚂蚁爬行的最短路程，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解：如图（1），把长方体剪开，则成长方形 ，宽为 ，长为 ，
连接 ，则 构成直角三角形，由勾股定理,得
. 如图（2），把长方体剪开，则成长方形 ，宽为 ，长为 ，
连接 ，则 构成直角三角形，同理，由勾股定理,得 .
∴ 蚂蚁从 点出发穿过 到达 点路程最短,最短路程是5．