章末综合测（1）集合与常用逻辑用语
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝ {1，a－2,5}，∁UA＝{2,4}，则a的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：由∁UA＝{2,4}，可得A＝{1,3,5}，∴a－2＝3，a＝5.
答案：C
2．设全体实数集为R，M＝{1,2}，N＝{1,2,3,4}，则(∁RM)∩N等于( ) 新课标第一]
A．{4} B．{3,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4 }
解析：∵M＝{1,2}，N＝{1,2,3,4}，∴(∁RB)∩N＝{3,4}．
答案：B
3．如图所示，U是全集，M、N、S是U的子集，则图中阴影部分所示的集合是( )
A．(∁UM∩∁UN)∩S
B．(∁U(M∩N))∩S
C．(∁UN∩∁US)∪M
D．(∁UM∩∁US)∪N
解析：由集合运算公式及Venn图可知A正确．
答案：A
4．已知p：2＋3＝5，q：5＜4，则下列判断错误的是( )
A．“p或q”为真，“p”为假
B．“p且q”为假，“q”为真
C．“p且q”为假，“p”为假
D．“p且q”为真，“p或q”为真
解析：∵p为真，∴p为假．
又∵q为假，∴q为真．∴“p且q”为真，“p或q”为真．
答案：D
A．0 B．1
C．2 D．4
答案：C
6．已知集合A＝{(x，y)y＝lg(x＋1)－1}，B＝{(x，y)x＝m}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是( )
A．m＜1 B．m≤1
C．m＜－1 D．m≤－1
解析：A∩B＝∅即指函数y＝lg(x＋1)－1的图像与直线x＝m没有交点，结合图形可得m≤－1.
答案：D
7．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个 充分不必要条件是( )
A．x≥0 B．x＜0或x＞2
C．x∈{－1,3,5} D．x≤－12或x≥3
解析：依题意所选选项能使不等式2x2－5x－3≥0成立，但当不等式2x2－5x－3≥0成立时，却不一定能推出所选选项．由于不等式2x2－5x－3≥0的解为x≥3，或x≤－12.
答案：D
8．命题p：不等式xx－1＞xx－1的解 集为{x0＜x＜1}；命题q：0＜a≤15是函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数的充分不必要条件，则( )
A．p真q假 B．“p且q”为真
C．“p或q”为假 D．p假q真
解析：命题p为真，命题q也为真．事实上，当0＜a≤15时，函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，但若函数在(－∞，4]上是减函数，应有0≤a≤15.故“p且q”为真．
答案：B
9．已知命题p：∃x0∈R，使tanx0＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x1＜x＜2}，下列结论：[X k b 1 . c o m
①命题“p且q”是真命题；
②命题“p且(q)”是假命题；
③命题“(p)或q”是真命题；
④命题“(p)或(q)”是假命题．
其中正确的是( )
A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
解析：命题p：∃x0∈R，使tanx0＝1为真命题，
命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x1＜x＜2}也为真命题，
∴p且q是真命题，p且(q)是假命题，
(p)或q是真命题，(p)或(q)是假命题，
故①②③④都正确．
答案：D
10．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{xax2＋bx＋c＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
解析：对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{xax2＋bx＋c＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题是：“若{xax2＋bx＋c＜0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因 为当不等式ax2＋bx＋c＜0的解集非空时，可以有a＞0，即抛物线开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.
答案：D
11．若命题“∀x，y∈(0，＋∞)，都有(x＋y)1x＋ay≥9”为真命题，则正实数a的最小值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：(x＋y)1x＋ay＝1＋a＋axy＋yx≥1＋a＋2a＝(a＋1)2≥9，所以a≥4，故a的最小值为4.
答案：B
12．设p：y＝cx(c＞0)是R上的单调递减函数；q：函数g(x)＝lg(2cx2＋2x＋1)的值域为R.如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则c的取值范围是( )
A.12，1 B.12，＋∞
C.0，12∪[1，＋∞) D.0，12
解析：由y＝cx(c＞0) 是R上的单调递减函数，
得0＜c＜1，所以p：0＜c＜1，
由g(x)＝lg(2cx2＋2x＋1)的值域为R，
得当c＝0时，满足题意．
当c≠0时，由c＞0，Δ＝4－8c≥0，得0＜c≤12.
所以q：0≤c≤12.
由p且q为假命题，p或q为真命题可 知p、q一假一真．
当p为真命题，q为假命题时，得12＜c＜1，
当p为假命题时，c≥1，q为真命题时，0≤c≤12.
故此时这样的c不存在．
综上，可知12＜c＜1.
答案：A
第Ⅱ卷 (非选择 共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知命题p：∃x∈R，x3－x2＋1≤0，则命题p是____________________．
解析：所给命题是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，故得结论．
答 案：∀x∈R，x3－x2＋1＞0
14．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是__________．
解析：∵“∃x∈R,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，
∴“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，解得－22≤a≤22.
故实数a的取值范围是[－22，22]．
答案：[－22，22]
15．已知命题p：“对∀x∈R，∃m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是__________．
解析：命题p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x－2x＋1＋ m＝0有实数解，即m＝－(4x－2x＋1)．令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－( 2x－1)2＋1，所以当x∈R时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
16．已知集合A＝{x∈Rx2－x≤0}，函数f(x)＝2－x＋a(x∈A)的值域为B.若B⊆A，则实数a的取值范围是__________．
解析：A＝{x∈Rx2－x≤0}＝[0 ,1]．
∵函数f(x)＝2－x＋a在[0,1]上为减函数，
∴函数f(x)＝2－x＋a(x∈A)的值域B＝12＋a，1＋a.
∵B⊆A，
∴12＋a≥0，1＋a≤1.解得－12≤a≤0.
故实数a的取值范围是－12，0.
答案：－12，0
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)记函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝3－x的定义域为集合B.
(1)求A∩B和A∪B；
(2)若C＝{x4x＋p＜0}，C⊆A，求实数p的取值范围．
解析：(1)依题意，得A＝{xx2－x－2＞0}＝{xx＜－1，或x＞2}，
B＝{x3－x≥0}＝{x－3≤x≤3}，
∴A∩B＝{x－3≤x＜－1，或2＜x≤3}，
A∪B＝R.
(2)由4x＋p＜0，得x＜－p4，而C⊆A，
∴－p4≤－1.∴p≥4.
18．(12分)已知命题p：关于x的不等式x2－2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立；命题q：函数y＝log(4－2a)x在(0，＋∞)上递减．若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
解析：命题p为真，则有4a2－16＜0，解得－2＜a＜2；
命题q为真，则有0＜4－2a＜1，解得32＜a＜2.
由“p∨q为真，p∧q为假”可知p和q满足：
p真q真、p假q真、p假q假．
而当p真q假时，应有－2＜a＜2，a≥2或，a≤32，即－2＜a≤32，
取其补集得a≤－2，或a＞32，
此即为当“p∨q为真，p∧q为假”时实数a的取值范围，故a∈(－∞，－2]∪32，＋∞
19．(12分)已知命题p：x－8＜2，q：x－1x＋1＞0，r：x2－3ax＋2a2＜0(a＞0)．若命题r是命题p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，试求a的取值范围．
解析：命题p即：{x6＜x＜10}；
命题q即：{xx＞1}；
命题r即：{xa＜x＜2a}．
由于r 是p的必要而不充分条件，r是q的充分而不必要条件，结合数轴应有1≤a≤6，2a≥10.解得5≤a≤6，
故a的取值范围是[5,6]．
20．(12分)已知集合A＝{x2－a≤x≤2＋a}，B＝{xx2－5x＋4≥0}．
(1)当a＝3时，求A∩B，A∪(∁UB)；
(2)若A ∩B＝∅，求实数a的取值范围．
解析：(1)∵a＝3，∴A＝{x－1≤x≤5}．
由x2－5x＋4≥0，得x≤1，或x≥4，
故B＝{xx≤1，或x≥4}．
∴A∩B＝{x－1≤x≤1或4≤x≤5}．
A∪(∁UB)＝{x－1≤x≤5}∪{x1＜x＜4}
＝{x－1≤x≤5}．
(2)∵A＝[2－a,2＋a]，B＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，且A∩B＝∅，
∴2－a＞1，2＋a＜4，解得a＜1.
21．(12分)已知函数f(x)＝2x2－2ax＋b，f(－1)＝－8.对∀x∈R，都有f(x)≥f(－1)成立．记集合A＝{xf(x)＞0}，B＝{xx－t≤1}．
(1)当t＝1时，求(∁RA)∪B；
(2)设命题p：A∩B＝∅，若p为真命题，求实数t 的取值范围．
解析：由题意知(－1，－8)为二次函数的顶点，
∴f(x)＝2(x＋1)2－8＝2(x2＋2x－3)．
由f(x)＞0，即x2＋2x－3＞0得x＜－3，或x＞1，
∴A＝{xx＜－3，或x＞1}．
(1)∵B＝{xx－1≤1}＝{x0≤x≤2}．
∴(∁RA)∪B＝{x－3≤x≤1}∪{x0≤x≤2}
＝{x－3≤x≤2}．
(2)由题意知，B＝{xt－1≤x≤t＋1}，且A∩B＝∅，
∴t－1≥－3，t＋1≤1⇒t≥－2，t≤0，
∴实数t的取值范围是[－2,0]．
22．(12分)已知全集U＝R，非空集合A＝xx－2x－3a－1＜0，B＝xx－a2－2x－a＜0.
(1)当a＝12时，求(∁UB)∩A；
(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝12时，
A＝x2＜x＜52，
B＝x12＜x＜94.
∁UB＝xx≤12，或x≥94.
(∁UB)∩A＝x94≤x＜52.
(2)若q是p的必要条件，
即p⇒q，可知A⊆B，
由a2＋2＞a，得B＝{xa＜x＜a2＋2}，
当3a＋1＞2，即a＞13时，A＝{x2＜x＜3a＋1}，
∴a≤2，a2＋2≥3a＋1，解得13＜a≤3－52；
当3a＋1＝2，即a＝13时，A＝∅，符合题意；
当3a＋1＜2， 即a＜13时，A＝{x3a＋1＜x＜2}．
∴a≤3a＋1，a2＋2≥2，解得－12≤a＜13；
综上，a∈－12，3－52.
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