逍遥学能 2018-09-18 10:32
（满分160分，考试时间120分钟）
注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．不等式 的解集为 ▲ .
2．直线 ： 的倾斜角为 ▲ .
3．在相距 千米的 两点处测量目标 ，若 ， ，则 两点之间的距离是 ▲ 千米（结果保留根号）.
4．圆 和圆 的位置关系是 ▲ .
5．等比数列 的公比为正数，已知 ， ，则 ▲ .
6．已知圆 上两点 关于直线 对称，则圆 的半径为
▲ .
7．已知实数 满足条件 ，则 的最大值为 ▲ .
8．已知 ， ，且 ，则 ▲ .
9．若数列 满足： ， （ ），则 的通项公式为 ▲ .
10．已知函数 ， ，则函数 的值域为
▲ .
11．已知函数 ， ，若 且 ，则 的最小值为 ▲ .
12．等比数列 的公比 ，前 项的和为 ．令 ，数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，则实数 的最小值为 ▲ .
13． 中，角A，B，C所对的边为 ．若 ，则 的取值范围是
▲ .
14．实数 成等差数列，过点 作直线 的垂线，垂足为 ．又已知点 ，则线段 长的取值范围是 ▲ .
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
已知 的三个顶点的坐标为 ．
（1）求边 上的高所在直线的方程；
（2）若直线 与 平行，且在 轴上的截距比在 轴上的截距大1，求直线 与两条坐标轴
围成的三角形的周长．
16．（本题满分14分）
在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ．
（1）求角A的大小；
（2）若 ， 的面积 ，求 的长．
17．（本题满分15分）
数列 的前 项和为 ，满足 ．等比数列 满足： ．
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）若 ，求 ．
18．（本题满分15分）
如图， 是长方形海域，其中 海里， 海里．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在 处同时出发，沿直线 、 向前联合搜索，且 （其中 、 分别在边 、 上），搜索区域为平面四边形 围成的海平面．设 ，搜索区域的面积为 ．
（1）试建立 与 的关系式，并指出 的取值范围；
（2）求 的最大值，并指出此时 的值．
19．（本题满分16分）
已知圆 和点 ．
（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；
（2）求以点M为圆心，且被直线 截得的弦长为8的圆M的方程；
（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得 为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
20．（本题满分16分）
（1）公差大于0的等差数列 的前 项和为 ， 的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项， ．
①求数列 的通项公式；
②令 ，若对一切 ，都有 ，求 的取值范围；
（2）是否存在各项都是正整数的无穷数列 ，使 对一切 都成立，若存在，请写出数列 的一个通项公式；若不存在，请说明理由．
扬州市2018?2018学年度第二学期期末调研测试试题
高 一 数 学 参 考 答 案 2018．6
1． 2． 3． 4．相交 5．1 6．3
7．11 8． 9． 10． 11．3 12． 13．
14．
15．解：（1） ，∴边 上的高所在直线的斜率为 …………3分
又∵直线过点 ∴直线的方程为： ，即 …7分
（2）设直线 的方程为： ，即 …10分
解得： ∴直线
线 的方程为： ……………12分
∴直线 过点 三角形斜边长为
∴直线 与坐标轴围成的直角三角形的周长为 ． …………14分
注：设直线斜截式求解也可.
16．解：（1）由正弦定理可得： ，
即 ；∵ ∴ 且不为0
∴ ∵ ∴ ……………7分
（2）∵ ∴ ……………9分
由余弦定理得： ， ……………11分
又∵ ， ∴ ，解得： ………………14分
17．解：（1）由已知得： ， ………………2分
且 时，
经检验 亦满足 ∴ ………………5分
∴ 为常数
∴ 为等差数列，且通项公式为 ………………7分
（2）设等比数列 的公比为 ，则 ，
∴ ，则 ， ∴ ……………9分
①
②
① ②得：
…13分
………………15分
18．解：（1）在 中， ，
在 中， ，
∴ …5分
其中 ，解得：
（注：观察图形的极端位置，计算出 的范围也可得分．）
∴ ， ………………8分
（2）∵ ，
……………13分
当且仅当 时取等号，亦即 时，
∵
答：当 时， 有最大值 ． ……………15分
19．解：（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为： ，为圆O的切线； …………1分
当切线l的斜率存在时，设直线方程为： ，即 ，
∴圆心O到切线的距离为： ，解得：
∴直线方程为： ．
综上，切线的方程为： 或 ……………4分
（2）点 到直线 的距离为： ，
又∵圆被直线 截得的弦长为8 ∴ ……………7分
∴圆M的方程为： ……………8分
（3）假设存在定点R，使得 为定值，设 ， ，
∵点P在圆M上 ∴ ，则 ……………10分
∵PQ为圆O的切线∴ ∴ ，
即
整理得： （*）
若使（*）对任意 恒成立，则 ……………13分
∴ ，代入得：
整理得： ，解得： 或 ∴ 或
∴存在定点R ，此时 为定值 或定点R ，此时 为定值 ．
………………16分
20．解：（1）①设等差数列 的公差为 ．
∵ ∴ ∴
∵ 的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项
∴ 即 ，∴
解得： 或
∵ ∴ ∴ ， ………4分
②∵ ∴ ∴ ∴ ，整理得：
∵ ∴ ………7分
（2）假设存在各项都是正整数的无穷数列 ，使 对一切 都成立，则
∴
∴ ，……， ，将 个不等式叠乘得：
∴ （ ） ………10分
若 ，则 ∴当 时， ，即
∵ ∴ ，令 ，所以
与 矛盾． ………13分
若 ，取 为 的整数部分，则当 时，
∴当 时， ，即
∵ ∴ ，令 ，所以
与 矛盾．
∴假设不成立，即不存在各项都是正整数的无穷数列 ，使 对一切 都成立．
………16分