逍遥学能 2018-09-10 15:15
2018-2019学年江苏省南通市如皋八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．（2分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）点（?2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，?3） B．（2，3） C．（?2，?3） D．（3，?2）
3．（2分）下列运算中，错误的是（ ）
A．2a?3a=?a B．（?ab）3=?a3b3 C．a6÷a2=a4 D．a•a2=a2
4．（2分）如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，则PD=（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
5．（2分）若（?x+a）（x?3）的积不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．3 B．?3 C． D．
6．（2分）若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，那m的值是（ ）
A．±12 B．?12 C．±24 D．?24
7．（2分）如图，AB=AC，AD=AE，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（ ）
A．120° B．70° C．60° D．50°
8．（2分）如图，BE⊥AC于点D，且AD=CD，BD=ED．若∠ABC=72°，则∠E等于（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
9．（2分）已知a、b、c是三角形的三边，则代数式a2?2ab+b2?c2的值（ ）
A．不能确定 B．大于0 C．等于0 D．小于0
10．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF=BE+CF；
②∠BOC=90°+ ∠A；
③点O到△ABC各边的距离相等；
④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二．填空题（本题共8小题；每小题3分，共24分．）
11．（3分）计算：（6x2?3x）÷3x= ．
12．（3分）计算：2018年2?2018年×2018= ．
13．（3分）若am=2，an=3，则a2m+n= ．
14．（3分）已知a+ =4，则a2+ = ．
15．（3分）当x 时，（x?3）0=1．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长，交BC于点D，则下列说法中，正确的有 ．（填写序号）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
17．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 ．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为 （度）．
三．解答题（本大题共8小题，共56分）
19．（8分）计算：
（1）（x+4）2?（x+3）（x?3）
（2）（x+2y?3）（x?2y+3）
20．（12分）因式分解：
（1）2a3?12a2b+18ab2
（2）?4（x+2y）2+9（2x?y）2
（3）x4?16
（4）（x?1）（x?3）?8．
21．（4分）如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠A=15°．
（1）在AC边上求作点D，使得DA=DB．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的基础上，连接BD，若BC= 1，则S△ABD= ．
22．（5分）化简求值：已知[（x?2y）2?4y2+2xy]÷2x，其中 x=1，y=2．
23．（5分）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且BD=FD，求证：AE?BE=AF．
24．（6分）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）证明：AD=BE；
（2）求∠AEB的度数．
25．（8分）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，过点A作射线AE，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BG⊥AE于点G，连接FD并延长，交BG于点H
（1）求证：DF=DH；
（2）若∠CFD=120°，求证：△DHG为等边三角形．
26．（8分）如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上
（1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（?2，? 2），求：点B的坐标；
（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴 于E，问BD与AE有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论① 为定值；② 为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出定值．
2018-2019学年江苏省南通市如皋八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．（2分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．（2分）点（?2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，?3） B．（2，3） C．（?2，?3） D．（3，?2）
【解答】解：点（?2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3），
故选：B．
3 ．（2分）下列运算中，错误的是（ ）
A．2a?3a=?a B．（?ab）3=?a3b3 C．a6÷a2=a4 D．a•a2=a2
【解答】解：A、2a?3a=?a，正确，不合题意；
B、（?ab）3=?a3b3，正确，不合题意；
C、a6÷a2=a4，正确，不合题意；
D、a•a2=a3，错误，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（2分）如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，则PD=（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【解答】解：过P作PE⊥OB于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，
∴PE=PD，
∵PC∥OA，
∴∠CPO=∠POA=15°=∠BOP，
∴∠ECP=∠BOP+∠CPO=30°，
∵∠PEC=90°，
∴PE= PC= ×6=3，
即PD=PE=3．
故选：C．
5．（2分）若（?x+a）（x?3）的积不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．3 B．?3 C． D．
【解答】解：∵（?x+a）（x?3）
=?x2+（3+a）x?3a，
∴3+a=0，
解得：a=?3，
故选：B．
6．（2分）若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，那m的值是（ ）
A．±12 B．?12 C．±24 D．?24
【解答】解：∵9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，
∴m=±24，
故选：C．
7．（2分）如图，AB=AC，AD=AE，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（ ）
A．120° B．70° C．60° D．50°
【解答】解：∵AB=AC，AD=AE，∠B=50°， ∠AEC=120°，
∴∠AED=∠ADE=60°，∠EAC=60°?∠C=60°?50°=10°，
∴∠DAC=60°+10°=70°．
故选：B．
8．（2分）如图，BE⊥AC于点D，且AD=CD，BD=ED．若∠ABC=72°，则∠E等于（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【解答】解：∵BE⊥AC，AD=DC，
∴BA=BC，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=36°，
在△ADB和△CDE中，
，
∴△ADB≌△CDE，
∴∠E=∠ABD=36°，
故选：B．
9．（2分）已知a、b、c是三角形的三边，则代数式a2?2ab+b2?c2的值（ ）
A．不能确定 B．大于0 C．等于0 D．小于0
【解答】解：a2?2ab+b2?c2=（a?b）2?c2=（a+c?b）[a?（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c?b＞0，a?（b+c）＜0．
∴a2?2ab+b2?c2＜0．
故选：D．
10．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF=BE+CF；
②∠BOC=90°+ ∠A；
③点O到△ABC各边的距离相等；
④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180° ，
∴∠OBC+∠OCB=90°? ∠A，
∴∠BOC=180°?（∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线 相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥A B于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△AB C中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF= AE•OM+ AF•OD= OD•（AE+AF）= mn；故④错误；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故选：A．
二．填空题（本题共8小题；每小题3分，共24分．）
11．（3分）计算：（6x2?3x）÷3x= 2x?1 ．
【解答】解：（6x2?3x）÷3x，
=6x2÷3x?3x÷3x，
=2x?1．
故答案为：2x?1．
12．（3分）计算：2018年2?2018年×2018= 1 ．
【解答】解：2018年2?2018年×2018
=2018年2?（2018年?1）×（2018年+1）
=2018年2?（2018年2?1）
=2018年2?2018年2+1
=1．
故答案是：1．
13．（3分）若am=2，an=3，则a2m+n= 12 ．
【解答】解：∵am=2，an=3，
∴a2m+n=a2m•an=（am）2•an=22×3=12．
故答案为：12．
14．（3分）已知a+ =4，则a2+ = 14 ．
【解答】解：∵a+ =4，
∴（a+ ）2=16，
∴a2+2+ =16，
∴a2+ =14．
故答案为14．
15．（3分）当x ≠3 时，（x?3）0=1．
【解答】解：由题意得：x?3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：≠3．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长，交BC于点D，则下列说法中，正确的有 ①②③④ ．（填写序号）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
【解答】 ①证明：连接NP，MP，
在△ANP与△AMP中，
∵ ，
∴△ANP≌△AMP，
则∠CAD=∠BAD，
故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；
②证明：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90°?∠2=60°，∠ADC=60°，故此选项正确；
③证明：∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；
④证明：∵在Rt△ACD中，∠2=30°，
∴CD= AD，
∴BC=BD+CD=AD+ AD= AD，S△DAC= AC•CD= AC•AD，
∴S△ABC= AC•BC= AC• AD= AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确；
故答案为：①②③④．
17．（3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC =15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 50° ．
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为：50°．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为 45 （度）．
【解答】解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°?∠ACE=90°?x?y．
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=x+y，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°?x?y+x=90°?y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，
∴x+（90°?y）+（x+y）=180°，
解得x=45°，
∴∠DCE=45°．
故答案为：45．
三．解答题（本大题共8小题，共56分）
19．（8分）计算：
（1）（x+4）2?（x+3）（x?3）
（2）（x+2y?3）（x?2y+3）
【解答】解：（1）（x+4）2?（x+3）（x?3）
=x2+8x+16?（x2?9）
=8x+25；
（2）（x+2y?3）（x?2y+3）
=[x+（2y?3）][x?（2y?3）]
=x2?（2y?3）2
=x2?4y2+12y?9．
20．（12分）因式分解：
（1）2a3?12a2b+18ab2
（2）?4（x+2y）2+9（2x?y）2
（3）x4?16
（4）（x?1）（x?3）?8．
【解答】解：（1）原式=2a（a2?6a+9b2）=2a（a?3b）2；
（2）原式=[3（2x?y）+2（x+2y）][3（2x?y）?2（x+2 y）]=（8x+y）（4x?7y）；
（3）原式=（x2+4）（x2?4）=（x2+4） （x+2）（x?2）；
（4）原式=x2?4x?5=（x?5）（x+1）．
21．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°．
（1）在AC边上求作点D，使得DA=DB．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的基础上，连接BD，若BC=1，则S△ABD= 1 ．
【解答】解：（1）如图所示：
此时DA=DB；
（2）如图所示：∵∠C=90°，∠A=15°，AD=BD，
∴∠A=∠ABD=15°，
∴∠CDB=30°，
∵BC=1，
∴AD=BD=2，
∴S△ABD= ×1×2=1．
故答案为：1．
22．（5分）化简求值：已知[（x?2y）2?4y2+2xy]÷2x，其中 x=1，y=2．
【解答】解：原式=（x2?4xy+4y2?4y2+2xy）÷2x
=（x2?2xy）÷2x
= x?y
当x=1，y=2时，
原式= ?2
=?
23．（5分）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且BD=FD，求证：AE?BE=AF．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，∠C=90°，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
同理可得Rt△FCD和Rt△BED，
∴AC=AE，CF=BE，
∴AE?BE=AF．
24．（6分）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）证明：AD=BE；
（2）求∠AEB的度数．
【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°?∠CDB=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE．
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120 °．
∴∠AEB=∠BEC?∠CED=60°．
25．（8分）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，过点A作射线AE，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BG⊥AE于点G，连接FD并延长，交BG于点H
（1）求证：DF=DH；
（2）若∠CFD=120°，求证：△DHG为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵CF⊥AE，BG⊥AE，
∴∠BGF=∠CFG=90°，
∴∠1+∠GMB=∠2+∠CME，
∵∠GMB=∠CME，
∴∠1=∠2，
∵点D为边BC的中点，
∴DB=CD，
在△BHD和△CED中，
，
∴△BHD≌△CED（ASA），
∴DF=DH；
（2）∵∠CFD=120°，∠CFG=90°，
∴∠GFH=30°，
∵∠BGM=90°，
∴∠GHD=60°，
∵△HGF是直角三角形，HD=DF，
∴DG= HF=DH，
∴△DHG为等边三角形．
26．（8分）如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上
（1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（?2，?2），求：点B的坐标；
（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴 于E，问BD与AE有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论① 为定值；② 为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出定值．
【解答】解：（1）过点B作BD⊥OD，
∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠DAC，
在△ADC和△COB中，
，
∴△ADC≌△COB（AAS），
∴AD=OC，CD=OB，
∴点B坐标为（0，4）；
（2）延长BC，AE交于点F，
∵AC=BC，AC⊥BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠COD=22.5°，∠DAE=90°?∠ABD?∠BAD=22.5°，
在△ACF和△BCD中，
，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD，
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE=EF，
∴BD=2AE；
（3）作AE⊥OC，则AF=OE，
∵∠CBO+∠OCB=90°，∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠CBO，
在△BCO和△ACE中，
，
∴△BCO≌△ACE（AAS），
∴CE=OB，
∴OB+AF=OC．