逍遥学能 2018-09-07 12:09
【导语】当一个小小的心念变成成为行为时，便能成了习惯；从而形成性格，而性格就决定你一生的成败。成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前几步。逍遥右脑为莘莘学子整理了《高一年级数学《集合》知识点总结》，希望对你有所帮助！
【一】
一．知识归纳：
1．集合的有关概念。
1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素
注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（a,b与b,a表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件
2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：N，Z，Q，R，N*
2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对x∈A都有x∈B，则AB（或AB）；
2）真子集：AB且存在x0∈B但x0A；记为AB（或，且）
3）交集：A∩B=xx∈A且x∈B
4）并集：A∪B=xx∈A或x∈B
5）补集：CUA=xxA但x∈U
注意：①?A，若A≠?，则?A；
②若，，则；
③若且，则A=B（等集）
3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、?的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。
4．有关子集的几个等价关系
①A∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABCuACuB；
④A∩CuB=空集CuAB；⑤CuA∪B=IAB。
5．交、并集运算的性质
①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A；
③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB；
6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
二．例题讲解：
【例1】已知集合M=xx=m+,m∈Z,N=xx=,n∈Z,P=xx=,p∈Z，则M,N,P满足关系
A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM
分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合M：xx=,m∈Z；对于集合N：xx=,n∈Z
对于集合P：xx=,p∈Z，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P，故选B。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：M=…，，…，N=…，,,，…，P=…，,，…，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，
=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以选B。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：设集合，，则（B）
A．M=NB．MNC．NMD．
解：
当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B
【例2】定义集合A*B=xx∈A且xB，若A=1,3,5,7,B=2,3,5，则A*B的子集个数为
A）1B）2C）3D）4
分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A=a1，a2，…，an有子集2n个来求解。
解答：∵A*B=xx∈A且xB，∴A*B=1,7，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。
变式1：已知非空集合M1,2,3,4,5，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为
A）5个B）6个C）7个D）8个
变式2：已知a,bAa,b,c,d,e,求集合A.
解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
集合A可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e.
评析本题集合A的个数实为集合c,d,e的真子集的个数，所以共有个.
【例3】已知集合A=xx2+px+q=0,B=xx2?4x+r=0,且A∩B=1,A∪B=?2,1,3,求实数p,q,r的值。
解答：∵A∩B=1∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B=xx2?4x+r=0=1,3,∵A∪B=?2,1,3,?2B,∴?2∈A
∵A∩B=1∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，
∴∴
变式：已知集合A=xx2+bx+c=0,B=xx2+mx+6=0,且A∩B=2,A∪B=B，求实数b,c,m的值.
解：∵A∩B=2∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B=xx2-5x+6=0=2,3∵A∪B=B∴
又∵A∩B=2∴A=2∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A=x(x-1)(x+1)(x+2)>0,集合B满足：A∪B=xx>-2，且A∩B={x1<>
分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。
解答：A=x-2<><-1或x>1。由A∩B=x1-2可知[-1,1]B，而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>
<><-1或x>
综合以上各式有B=x-1≤x≤5
变式1：若A=xx3+2x2-8x>0，B=xx2+ax+b≤0,已知A∪B=xx>-4，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。
变式2：设M=xx2-2x-3=0,N=xax-1=0，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。
解答：M=-1,3,∵M∩N=N,∴NM
①当时，ax-1=0无解，∴a=0②
综①②得：所求集合为-1，0，
【例5】已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。
分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。
解答：（1）若，在内有有解
令当时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
三.随堂演练
选择题
1．下列八个关系式①0=②=0③{}④{}⑤0
⑥0⑦0⑧{}其中正确的个数
（A）4（B）5（C）6（D）7
2．集合1，2，3的真子集共有
（A）5个（B）6个（C）7个（D）8个
3．集合A=xB={}C={}又则有
（A）（a+b）A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一个
4．设A、B是全集U的两个子集，且AB，则下列式子成立的是
（A）CUACUB（B）CUACUB=U
（C）ACUB=（D）CUAB=
5．已知集合A={}，B={}则A=
（A）R（B）{}
（C）{}（D）{}
6．下列语句：（1）0与0表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为
1，2，3或3，2，1；（3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为1，1，2；（4）集合{}是有限集，正确的是
（A）只有（1）和（4）（B）只有（2）和（3）
（C）只有（2）（D）以上语句都不对
7．设S、T是两个非空集合，且ST，TS，令X=S那么S∪X=
（A）X（B）T（C）Φ（D）S
8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式，则不等式ax2+bx+c0的解集为
（A）R（B）（C）{}（D）{}
填空题
9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为
10.若A=1,4,x,B=1,x2且AB=B，则x=
11.若A=xB=x,全集U=R，则A=
12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是
13设集合A={},B=x,且AB，则实数k的取值范围是。
14.设全集U=x为小于20的非负奇数，若A（CUB）=3，7，15，（CUA）B=13，17，19，又（CUA）（CUB）=，则AB=
解答题
15(8分)已知集合A=a2,a+1,-3,B=a-3,2a-1,a2+1,若AB=-3，求实数a。
16(12分)设A=，B=，
其中xR,如果AB=B，求实数a的取值范围。
四.习题答案
选择题
12345678
CCBCBCDD
填空题
9．(x,y)10.0,11.x,或x312.{}13.{}14.1,5,9,11
解答题
15.a=-1
16.提示：A=0，-4，又AB=B，所以BA
（Ⅰ）B=时，4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1
(Ⅱ)B=0或B=-4时，0得a=-1
（Ⅲ）B=0，-4，解得a=1
综上所述实数a=1或a-1
【二】
集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急～。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。
集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。
集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。
元素与集合的关系
元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。
集合与集合之间的关系
某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。『说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了一个≠符号(如右图)，不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』
集合的几种运算法则
并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B=x交集：以属于A且属于B的元差集表示
素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B=x例如，全集U=1，2，3，4，5A=1，3，5B=1，2，5。那么因为A和B中都有1，5，所以A∩B=1，5。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B=1，2，3，5。图中的阴影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减集合
1再相乘。48个。对称差集：设A，B为集合，A与B的对称差集A?B定义为：A?B=(A-B)∪(B-A)例如：A=a，b，c，B=b，d，则A?B=a，c，d对称差运算的另一种定义是：A?B=(A∪B)-(A∩B)无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的全体，且N_n=1，2，3，……，n，如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作：AB=x│x∈A，x不属于B。注：空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”.补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA=x空集也被认为是有限集合。例如，全集U=1，2，3，4，5而A=1，2，5那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA=3，4。在信息技术当中，常常把CuA写成~A。
集合元素的性质
1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成1，1，2，等同于1，2。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。4.无序性：a，b，cc，b，a是同一个集合。5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A=x<2，集合A中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。6.完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。
集合有以下性质
若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B
集合的表示方法
集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A=…的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。
常用的有列举法和描述法。1.列举法?常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来?写在大括号内?这种表示集合的方法叫做列举法。1，2，3，……2.描述法?常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字?符号或式子等描述出来?写在大括号内?这种表示集合的方法叫做描述法。x(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0
4.自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N*(2)非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q=p/q(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合
Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A=a，b，c，则card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA=UA∩CuA=Φ设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C～(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q