逍遥学能 2018-03-12 18:39
本文作者：Scott Aaronson是麻省理工学院电子工程与计算机科学专业的一名副教授，隶属于计算机科学与人工智能实验室。他是《从德谟克利特到量子计算》（Quantum Computing since Democritus , 2013）的作者。
在某种意义上，数学中的谜题比其他任何人类竭力探索的领域都要少。在数学上，我们可以真正地理解一些事物，比理解其他事物更加深刻。（当我年轻时，每当看悬疑电影时感到恐慌，我就会用背诵数学定理证明的方法来让自己安心，因为至少这里面的确定性是电影无法撼动的。）那么为何还有许多人，尤其是数学家，对这个谜题最少的学科感到迷惑呢？他们在疑惑什么呢？
数学世界当然是存在谜题的。对于入门者而言，数学有着数以千计的未解之谜，比如一些无人能证明或证伪的推断，其中有些甚至耗费了数学家数十年的努力仍未能解决。尽管许多此类问题都很深奥和重要，我们现在仍可以找出一个简单的例子：没人能够证明，圆周率π=3.141592653589…无尽的小数部分，数字0到9出现的频率是相等的。
然而，出于一些原因（也适用于许多其他未解数学问题），是否该把这个问题称为“谜题”还有争议。对于大多数人来讲，如果这些数字事实上并非等频率出现，那才算得上引人好奇的谜题。但在数学上，最大的难题其实是要严密地证明：真实的情况就是任何具备常识的人经仔细思考后认为最可能发生的情况。正如威斯康星大学的数学家Jordan Ellenberg写道，数学的一个肮脏秘密就是许多未解问题都有一个相似点：它们缺少神秘的巧合。
举个例子，孪生素数猜想认为，有无限组相差为2的素数对（如3和5，或者11和13）。Ellenberg解释道，要让这个猜想成立，并不需要什么神秘 “力量”将素数聚拢一起，只要别有什么神秘力量把素数拆散就行了；或者以黎曼猜想为例，即一个特定的复变函数，无限多的非平凡零点都在一条直线上。当该假说被这样描述时，听上去的确像是个谜。为什么无限多的数字都要恰好排列在一条线上呢？
但当你认识到，这个函数的每一个零点都编码了素数分布的全局信息时，神秘感也就消退了：只要有一个零点不在这条线上，就意味着有无限多的素数会以看上去极为不可能的方式聚拢在一起。所以，如果你愿意，总得有一种神秘的规律存在，从而阻止更加神秘的第二种规律出现。
当然，并非所有的数学谜题都是要严密地论证常识的预测结果。1978年，肯考迪娅大学的John McKay注意到数字196883出现在两个看起来毫不相关的数学领域。这是单纯的巧合么？1998年，Richard Borcherds（现就职于于加利福尼亚大学伯克利分校）证明了这绝非巧合（这受到英国数学家John Conway和Simon Norton提出的“魔群月光”猜想的启发），并因此获得了菲尔兹奖。
你也许会觉得数学是一个巨大的阴谋：在某时某地，我们常会发现生活中的一些事物竟能够如此一致，这样的几率也太高了，以至于我们得说这绝非巧合，背后一定有更深入的解释等着被发掘。另一方面，恰恰由于整个学科都充满了非巧合的模式，一旦你在数学上投入了足够的时间，你也就见怪不怪了。
因此，关键的问题在于：当一个数学模型被解释——不仅是被证明，而是已经用20种不同方法证明，完全被理解，就像勾股定理一样——那还剩有神秘么？我会说也许还有吧，但并不确定。
两年前，一位捷克弦理论家，同时也是以保守态度而知名的数学博主Lubo? Motl曾指责理论计算机科学家不该相信“P≠NP” 猜想——这是计算领域一个未被证明的核心理论，但就这样一个毫无合理依据的“偏见”，居然就成了包括我在内的理论计算机领域人士的群体思维和意识形态，他认为这是不可接受的。因为持这种看法的不止Motl一人，他的指控本身并不是那么引人注目，但他走得更远：尽管他作出了让步，认为在更接近物理学的数学领域里，或许会存在支持某一陈述为真的客观原因，但他声称，在远离物理学的分支里，数学就会变成一堆命题的杂乱堆砌。
有一些命题碰巧得到了证明，我们也因此同意它们是对的，就像我们会同意532+193=725一样。但如果一个命题没能被证明或者被证伪，在Motl看来，我们甚至都没有办法以比50%更高的概率“猜”出它到底是真是伪。这一不知真伪的命题无法与任何已经被证明的命题建立可靠的联系，也不能被归入更宽泛的模式中，只能引出一个接一个不知真假的引理。