逍遥学能 2014-09-05 16:35
一、选择题
1.下面四个结论：①数列的图像是一群孤立的点；②数列可看成是一列函数值；③数列的项数是无限的；④数列通项的表达式是唯一的.其中正确的结论是( ).
A.① B.①② C.②③ D.①②③
考查目的：考查数列的有关概念及其表示.
答案：A.
解析：数列可看成是定义域为正整数集或正整数集的一个有限子集，当自变量从小到大依次取值时所得到的一列函数值，所以数列的图像是一群孤立的点；数列按项数可分为有穷数列和无穷数列；数列通项的表达式不一定唯一，如周期数列0，2，0，2，……的通项可表示为，也可表示为等.
2.(2009湖北文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ).
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
考查目的：考查数列的概念、归纳猜想能力和推理判断能力.
答案：C
解析：由图形可得三角形数构成的数列通项，正方形数构成的数列通项；由可排除D，由或，得，可排除A、B，故选C. 事实上，是第49个三角形数、第35个正方形数.
3.(2008江西)在数列中，，，则( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查递推数列的概念、对数的运算性质，考查由递推公式求通项公式的基本方法.
答案：A.
解析：∵，∴()，∴当时， . 又∵也适合上式，∴().
二、填空题
4.数列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一个通项公式是 .
考查目的：考查数列通项公式的概念、归纳推理能力.
答案：.
解析：.还可以表示为或
或.
5.(由2010辽宁理改编)已知数列的通项公式为，则的最小值为________.
考查目的：考查数列的通项公式及函数的单调性等基础知识，考查综合运用知识解决问题的能力.
答案：.
解析：∵，∴，设，则由函数的性质知，在上单调递增，在上单调递减，因为，所以当或时，有最小值.又因为，，所以的最小值为.
6.(2012上海文)已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 .
考查目的：考查函数的概念、数列的概念和性质等基础知识，考查数列递推公式的运用.
答案：.
解析：∵，，∴；∵，∴，，，，；又由得到，，解得(负值舍去).依次往前推，得到，∴.
三、解答题
7.在数列中，.
⑴求证：数列先递增后递减；
⑵求数列的最大项.
考查目的：考查数列的概念、研究数列单调性的基本方法.
答案：⑴当时，递增；当时，递减.⑵.
解析：⑴由得，∴当时，递增；当时，递减.
⑵由⑴可知，为数列的最大项.
8.如果每一对兔子每月能生一对新兔，而每一对新兔在出生后的第三个月开始生一对新兔. 假定不发生任何死亡，那么一对新生的兔子在一年后能繁殖成多少对？
考查目的：考查数列的概念、数列的递推公式，考查分析问题解决问题的能力.
答案：144.
解析：记 为个月后兔子的对数，则，，，∵第个月后兔子的对数由两部分组成：一部分为第个月的兔子对数，另一部分是新增加的，增加的对数为第个月的兔子对数，∴ ，由此可得，，，，，，，，.
答：一对新生的兔子在一年后能繁殖成144对.