逍遥学能 2017-12-31 20:54
在我看来，数学的真正美妙的地方之一在于它可以被检验；你不必把任何人的话当做圣经。如果有人给你说一些事情是真的，那你可以让他证明；最好是，如果你真的想同数学家一样思考，那你可以尝试主动证明它。不要等着有人拿勺子喂你。
一、质疑一切
对于一些人的话，你的反应应该是怀疑，并且试图去找到一个反例；即便是真的，这种对你的锻炼也是有益的，同时也能帮助我们对事情的判断力（注意，在真实生活场景中过度这么做可能会失去朋友，一直挑别人的刺，谁都会不爽）。
某报纸的一份来信说时间旅行从逻辑上是不可能的，因为如果时间旅行是可能的，那我们是会看到很多来自未来的人。我有一些想法来反驳这个逻辑：或许时间旅行只允许我们穿越到过去某点时间（比人类历史还要长）；或许时间旅行者不允许和我们交流；或许时间旅行有一个范围，能穿越的时间不超过一年，而时间旅行在数年后才出现（并且时间旅行的机器不能穿越）。
二、写下来
写下来？你可能会问，这跟和数学家一样思考有个啥关系。是这样的，语言是由一些论据构建的。高水平数学家的论据都是证明的形式（不仅仅是给出正确的数字答案）。
学生通常看不到写下来的需要；他们常常说：“我来大学不是来写作文的”，“我已经知道正确答案了”，“你懂的”。他们的作业都是一些没有关系的符号堆砌但依然可以获取高分。但是，如果你想去理解数学并且思路清晰，通过写的练习可以迫使你对自己的观点想的更清楚。如果你不能正确的描述，那么很可能你并不是真正理解了你要表达什么。这是一个可以学习和发展自己技术的很好机会。其实写的一手好文章在任何领域都是很有用的技术。
三、试试逆？
语句A=>B是数学的核心，我们可以表述为如果A是真的，那么B就是真的；
A=>B的逆就是B=>A，例如："如果我是丘吉尔，那我是英国人"的逆是"如果我是英国人，那么我是丘吉尔"；
这个简单的例子说明了，即便是一个语句是真的，那么其逆可能非真；可能真也可能非真，说之前要搞清楚；
一个好的数学家，当提出一个A隐含B的语句时，通常会思考"其逆为真么？"，把这个问题印到脑子里，作为你和数学打交道的工具；然后，其逆是否为真并不是很重要，关键是磨练数学的能力；
[说个题外话，通常人们会犯一个大错误，就是当A=>B时，认为如果A非真的，那么B也非真的；这是不对的，这个语句只是在说当A为真是会发生什么，并没有说A非真时的情况。现在可以像一个数学家一样思考一下，给一个例子。]
四、试着互逆
一条语句'A=>B'的互逆是'notB=>notA'；
例如：
1）『如果我是丘吉尔，那么我就是英国人』的互逆就是『如果我不是英国人，那么我就不是丘吉尔』
2）『如果我不是美国人，那么我就不是德克萨斯人』的互逆就是『如果我是德克萨斯人，那么我就是美国人』
3）『x^2-4x-5=0=>x>=-2』的互逆就是『x<-2>x^2-4x-5!=0』
A=>B的互逆命题和自身的真假惊奇的一致！也就是说，如果A=>B是真的，那么notA=>notB就是真的，反之亦然。可以验证一下上面的例子。一开始可能很难在脑子里形成固有概念-其实大多数人都不相信；有一个著名的关于互逆的教育实验，叫做Wason的选择任务。可以看一看你是否能通过测试，只有不到10%的人通过了；
由于互逆经常用做证明，并且日常推理也经常搞错，所以你应该掌握。
五、考虑极端情况
面对一个命题，要在少量极端的假设情况下看看；如果需要的参数为0或者1会怎样？如果把需要的函数定义为f(x)=0会怎样？数据集为空呢？如果需要的序列为1，1，1，1……呢？直线或者圆会有什么结果？
这些例子可以帮我们更深刻的理解，意味着命题可以应用的场景；
考虑一个极端的例子『如果Y=X^2，Z=Y^2，所以Z!=X^2』。貌似Y和Y^2一般场景下是真的，但其实不然，比如Y=1，当X=1的条件下；
用一个极端的例子说明下列原理是错误的：
原理：假设a,b,c,d是正整数，如果ab=cd，a=c，那么b=d；
想给出好的极端例子需要积累，因此需要平时注意收集，用到的时候信手捏来，有一个训练方法，想象你正在酣睡，突然大半夜有人把你摇醒说：快！给我一个X的好例子，快！X可以是群组、向量、函数等数学对象。
来源：译言网