逍遥学能 2017-12-27 12:16
一、分析法及其特点
众所周知，用分析法寻找计算题的解法时，总是要由题述的待求量（简称为初始待求量）开始进行思考，首先考虑怎样去求这个待求量（设为ｘ）．为此需要从众多相关的公式中选出某一个公式，并对这个公式进行某种运算，得出ｘ的表达式．在这个表达式中，除了包含一些已知量之外，还会有新的未知量（称为新生待求量，记为ｙ）出现，这时为了求初始待求量就必先求出新生的待求量，于是求初始待求量（ｘ）的问题就转变为求新生待求量（ｙ）的问题．当上述的第一步骤完成之后，接着思考怎样求新生待求量（ｙ），这时又要选用另一个公式，经运算后得出ｙ的表达式，把求ｙ的问题转变为求本步骤的新生待求量（ｚ）的问题．当这种过程继续进行到某个新生待求量的表达式等号右边全部是已知量时，初始待求量的算法就被确定下来，寻求算法的思考过程即告完成．运用分析法时，人们总是从怎样求问题的初始待求量入手进行思考，把求初始待求量的问题递次的转变为求新生待求量的问题，直到最后的一个新生待求量能由已知量直接求出为止．
例1 放在水平面上的物体，质量为ｍ，它与水平面间的动摩擦因数为μ，若物体受到水平拉力Ｆ′作用，问经过时间ｔ时，拉力的功率是多少?
现象分析 例题中各已知量均属力学量，故本例属于一个单纯的力学问题．问题中拉力Ｆ′，动摩擦因数μ和时间ｔ的出现，提示我们应当把运动视为恒力作用下的匀变速运动过程来考察，而功率Ｐ的出现，则显示又应当把这个运动视为恒力对物体做功的过程来对待（为方便说明，本例不考虑动能定理求解）．
算法分析（分析法）
1．首先考虑怎样求题述的初始待求量功率Ｐ．由于功率是与功、机械能知识直接联系的物理量，所以这时应从功、能的角度出发，把题述过程当做恒力做功的过程来对待．在相关的机械能一章知识范围内，直接包含功率的公式有两个，即
定义公式 Ｐ＝Ｗ／ｔ．①
计算公式 Ｐ＝Ｆｖ．②
当功率随时间而有变化时，①式中的Ｐ是平均功率；②式中的Ｐ是即时功率．本例中各力恒定，但速度和功率都随时间而逐渐增大．可见题中所求的功率为即时功率．二式中，只能选用②式去求功率．
从②式知，当拉力Ｆ′已知时，欲求功率Ｐ，须先求得物体经过时间ｔ后的即时速度ｖ．这个分析步骤的结果可简单表示为
欲求Ｐ（根据公式Ｐ=ＦＶ／用上已知量Ｆ′）须先求ｖ，
此式还可以进一步简化为 Ｐ（Ｐ=ＦＶ／Ｆ′）ｖ．③
③式中，横线左端的量（Ｐ）是待求量，右端的量（ｖ）是新产生的未知（待求）量， 横线下方是本步骤中被利用上的已知量，横线上方列出的公式是作为本步骤计算根据的公式（简称根据式）．用③这样的式子可以全面反映一个运算步骤在上述四个方面的特点．从③式可以看到，根据式总是由待求量、已知量、新生待求量三种量组成，根据式中直接包含着待求量及部分已知量，它只能是同问题中的一些量值（已知的，待求的）有着某种直接联系的公式．
2．接着考虑怎样求新生待求量ｖ．为求即时速度ｖ，可以按通常的习惯把题述过程视为匀变速运动过程，在关于这种过程的知识范围内，直接包含待求量ｖ的公式共有三个，即
ｖt＝ｖ0＋ａｔ， ④
ｖt2－ｖ02＝2ａｓ， ⑤
＝（ｖ0＋ｖt）／2． ⑥
上述三式中究竟应选用哪一个去求ｖ，还必须先进行有关的分析、比较．由于ｖ0＝0，若由④式求ｖ，则得ｖ＝ａｔ，这时能用上一个已知量ｔ，新产生一个待求量ａ．若由⑤式求ｖ，则得ｖ＝，这时计算将不会用到任何一个已知量，同时会产生两个新的待求量ａ和ｓ．若用⑥式求ｖ，则得ｖ＝2．以 上三种分析可表示为
用④计算：
．
用⑤计算：
．
用⑥计算：
．
比较这三种可能的求ｖ途径，可以发现，由不同的公式求ｖ时，用上的已知量的数量不相同（这表明不同的公式同已知量间联系的密切程度不同），而且新产生的待求量个数也不相同．很明显，几个公式中那种用上已知量较多，产生新生待求量较少，与题述已知量联系最紧密的公式是最有成功希望的公式．照此考虑应当选择④式作计算的根据．由④式可知，当ｔ已知时，欲求ｖ须先求加速度ａ．这个结果记为．
这时用上的已知量是ｔ，新生待求量是加速度ａ．
3．再考虑怎样求新生待求量ａ．在恒力作用下的匀变速运动有关的知识范围内，直接包含加速度的公式主要是
速度公式：ｖt＝ｖ0＋ａｔ，⑦
位移公式：ｓ＝ｖ0ｔ＋（1／2）ａｔ2，⑧
牛顿第二定律：Ｆ＝ｍａ．⑨
为了从三个公式中选择出最简捷且成功希望最大的一个，就必须对三个公式加以分析比较．本题中给出的已知量（ｖ0不计）共有4个，其中Ｆ′和时间ｔ已在前两步骤中被用于计算，到目前为止还没有被利用的已知量（简称闲置已知量）是质量ｍ和动摩擦因数μ．
若选用⑦式求ａ，则得ａ＝ｖ／ｔ．
又将把求ａ的问题重新变为求ｖ的问题，与前一步骤的待求量形成循环．若选用⑧式求ａ，则经运算后可得ａ＝2ｓ／ｔ2．
这时用上的已知量仍然是ｔ，与上一步骤中被利用的已知量完全一样，新产生的待求量是位移ｓ．无论选用公式⑦还是⑧，都有一个共同的缺陷，即不能使计算同闲置已知量ｍ、μ联系起来，不能把他们纳入求ａ的计算之中．
质量ｍ和动摩擦因数μ属于动力学的量，欲使求ａ的计算同这两个闲置条件相联系，就应当从动力学角度去寻找求ａ的公式，为此选择⑨式Ｆ＝ｍａ，可得到ａ＝Ｆ／ｍ．
这时用上了闲置已知量ｍ，新生产一个待求量合外力Ｆ，所得结论是：在ｍ已知时，欲求加速度ａ，须先求合外力Ｆ．这个步骤的结果可表示为ａ＝．
本步骤的公式选择突出地表明，对已知量及公式的运用要有一种前进性，不能只是使用一部分已知量和公式，而置其它不顾，选用公式时，应充分注意优先选择与闲置已知量有直接联系的公式．
4．按前一步骤的结论，考虑怎样求合外力Ｆ．求合外力的常用方法有两种，一是利用公式Ｆ＝ｍａ计算，二是由力的合成法则求合力．这里若重复使用前一步骤中用过的公式Ｆ＝ｍａ，则必定导致问题的循环（即欲求ａ须求Ｆ，欲求Ｆ又须求ａ），因此只能通过力的合成法则去求合力．可得Ｆ＝Ｆ′－μｍｇ．
照此法计算，方程中除再次利用已知量Ｆ′、ｍ外，还用上了最后一个闲置已知量μ，至此问题中提供的所有已知量值已全部被利用．在Ｆ的表达式中，等号右边全部由已知的量组成，故F可以直接求出，把初始待求量与各个已知量联系起来的具体途径已经探明，求Ｐ的方法已找出．这最后的步骤记为
－μ ｍｇ．
本例算法分析的前述四步骤（环节）可用如下的式子描述
． ⑩
这个式子，既反映出每一分析步骤的根据（选用的公式）、特点，又反映出各步骤之间的联系和全过程的思维运动．它从总体上说明，欲求功率Ｐ，须先求速度ｖ；欲求ｖ，又须先求加速度ａ；欲求ａ，须先求合力Ｆ；合力Ｆ可以由已知量直接求出．
从例题的算法分析，可以发现用分析法寻找算法的思考过程具有下列主要特点：
（1）一个分析过程，由若干个形式上相似的步骤组成，每个步骤都包括三项基本的思维操作，即选择公式，运算和结论．这里的运算即对选用的公式进行数学运算，得出待求量的表达式．结论是根据待求量的表达式，作出“求此须先求什么”的结论，以便对下一环节应当求什么有一个明确的认识．在一个环节的三项操作中，最关键、最困难的是选择公式．
（2）用分析法进行思考，要把一个复杂问题分解成若干前后连贯的子问题．在某一分析步骤结束时，当时的新生待求量和闲置已知量（闲置条件）形成一种局部的子问题情景，它们为下一步的思考提供重要线索（启发信息）．
运用分析法时，在每一个步骤上所思考的典型问题是“求此须知什么”或“求此先求什么”，而在运用综合法时，思考的典型问题是“由此可知什么”．
（3）运用分析法时，思维的前进运动表现为待求量的逐步转化，各个已知量（闲置已知量）被逐渐利用，以及所用公式的不断更新．在此过程中，原来那些分散和看似孤立的量被逐步地集中起来，联系起来，并且最终都同初始待求量相联系（运用综合法时情况与此不同）．
（4）在各个分析环节上产生的新生待求量是联系前后环节的桥梁，是把各个量值、公式联系起来的中介，从⑩式中我们可以清楚地看到这一点．
二、分析法中公式的选择规则
在学生寻找计算题解法的思考中，选择适当的公式用于解题是最为关键最为困难的基本思维操作，让学生懂得并切实掌握选择公式的方法是中学物理（尤其是初中物理）习题教学的一项重要的硬指标．从前面的例题中可以看到，解题过程中对公式的挑选并不是一种盲目的猜试或胡乱套用，也不是一种不可捉摸的东西．对例题中寻找算法的各个步骤进行仔细考察，把那些被选用的公式与被淘汰的公式进行对比之后，可以发现，在多个可供选用的公式中，只有具备某些特征的公式，或者说只有同问题的当前状态（当前的闲置已知量、待求量等）有着直接联系的公式才能成为选中的根据式，不具备这些特征的公式则不适宜于选用．当我们根据那些特征去衡量某个公式是否应当选用时，就可以形成若干选择公式的规则．现将用分析法进行算法分析时，公式的选择规则介绍于下．
第一、待求量相关规则
在某一步骤上被选作计算根据的公式中必定直接包含着该步骤上的待求量，也就是说，它必须是与该步骤上的待求量有着直接关联的公式．按照这一特征，当我们面对多个允许使用的公式时，可以从中挑选出少数直接包含待求量的公式，而排除其余不相关的公式，这样的选择规则称为待求量相关规则（参见例题算法分析各个步骤）．
第二、已知量相关规则
一般情况下，被选定为计算根据的公式中，必须包含有或多或少的已知量，尤其应包含有闲置的已知量．也就是说，根据式应当与问题中的部分（闲置）已知量有直接地联系，那些与此无关的公式一般不宜选用．这个规则称为已知量相关规则．从整体上讲，只有照此法选择公式用于计算，才能保证最终把问题中的初始待求量同众多分散的已知量联系起来，否则就不能找出问题的解法．问题中的已知量，好像铺垫出的一条轨道，制约着人们选择公式的思维路线，这种制约关系，可以简述为“量值约束算法”．读者可以在例题算法分析的第二、第三、第四步骤上看到运用本规则的例子．运用这个规则时，不排除有时在个别步骤上选用与已知量无直接联系的公式．
第三、收敛性规则
在选用公式时，应优先选择用上已知量较多、新产生的待求量尽量少的公式（最好只产生一个待求量）．这种根据公式产生新生待求量的多少来选择公式的规则叫做收敛性规则．不难设想，如果在每一个步骤上都产生两个以上的新的待求量，那么进一步的思考将产生大量的分支，出现高度发散的局面，最终将使问题无法解决．
第四、现象相关规则
解答物理问题的过程中，用于解题的公式只能是在题述物理现象中确实存在的数量关系．特定的现象用特定范围内的公式，不同现象要用不同范围内的公式（一般是如此），所用的公式依题述系统中产生的物理现象（过程）为转移．在解题过程中，现象与所用公式 间的这种关系可以简述为“现象规定公式”．按照这种关系只有那些与题述物理现象具有直接相关性的公式才允许用于解题，其余公式则不允许使用．选择公式的这一规则叫做现象相关规则，这是选择根据式的首要规则．
运用现象相关规则选择公式时，首先应判明题述系统中究竟发生了（一些）什么样的物理现象（过程），然后再从物理学的大量公式中选出与题中现象具有相关性的少数公式，排除其他大量的无关公式，有了这个基础后，进一步的选择就易于进行了．
寻找问题的算法，需要同时动用前述的四个选择规则，运用的基本程序如下：
首先运用现象相关规则，判明题述物理现象的种类，据此去回忆、搜索关于该现象的知识中的各种公式，这些公式便都属于与现象相关的公式，是可以（允许）用于解题的公式．第二，运用待求量相关规则，从已选出的若干公式中再挑选出式子中直接包含有待求量的小部分公式（二、三个）．第三，再运用已知量相关规则和收敛性规则，从第二步选出的公式中进一步选定一个公式，这个公式一般应包含有（当时的）闲置已知量，并且用上的已知量要尽量多，新生的待求量要尽量少．
公式的选择规则是一种启发式规则，是一种优先选择的规则．这些规则使我们可以充分利用问题中提供的各种线索（启发信息）去进行自觉地选择，摆脱那种幼稚的盲目猜试和瞎碰乱套．作为一种启发式的规则，它们常常能帮助我们优先选择出最有成功希望且最为简捷的路径．然而，它不保证每一次都获得成功．当出现这种“此路不通”的情况时，解答者应当返回到出差错的步骤上，重新进行选择．四条选择规则中，第二、四两规则在运用分析法外的其它方法时也具有普遍的适用性．
参考文献
1 袁守华．物理教学解题理论若干概念简介．中学物理教学参考，1990（3）
2 袁守华．解题思维中研究对象的确定和转移．中学物理教学参考，1999（8）
3 Ｇ?波利亚．怎样解题．北京：科学出版社，1982
4 学习的策略课题组．《学习的策略》第四篇．北京：红旗出版社，1999