逍遥学能 2017-11-13 06:58
高中数学漫谈：随机数学的产生与发展，概率和统计的历史可以追溯到遥远的古代，比如，在公元前2000年的埃及古墓中已有正方体的骰子，在古代的游戏与赌博活动中就有概率思想的雏型。但是概率论作为一门学科，则酝酿于16世纪前后的两百余年之间，产生于17世纪中期前后。它的起源与一个所谓的点数问题有关。这个著名的问题是：两个技巧相当的赌徒对局，他们知道怎样的比分赌局终止，也知道取胜所要求的点数，问应该怎样来分配他们的赌注。帕乔利（F.L.Pacioli）在他的《算术，几何，比例和比值要义》（1494年）一书中，首次把点数问题写入数学著作中。直到1654年以前这个问题没有解决。1654年一个赌徒默勒（C.Méré）向法国数学家帕斯卡（Blaise.Pascal）提出了这个问题，帕斯卡对此问题极有兴趣，他写信同费尔马讨论。于是两位数学家通过信件进行讨论，并且各自独立解决了这个问题。
我们用例子来说明两位数学家的讨论。在两个赌徒A和B之间进行赌博，规则规定，两人之间进行若干局比赛，如果A先取得2局胜利，则A获胜；如果B先取得3局胜利，则B获胜，问应该如何来分配赌注。费尔马对这个问题的解法比较简单和直接，而帕斯卡的解法则比较精致和便于推广。
很显然，在这个例子中只需进行4局赌博就能决出胜负。费尔马用a表示A取胜的比赛，用b表示B取胜的比赛；然后考虑a，b两种字母每次取四个的16种可能的排列：
aaaa baaa abaa aaba aaab bbaa baba baab
abba abab aabb bbba bbab babb abbb bbbb
其中，a出现2次或多于2次的情况是有利于A，这种情况共11种；而b出现3次或多于3次的情况是有利于B，这种情况共5种。因此，赌注应按11：5来分配。推广至一般情形，如果A要在m局取胜，B要在n局取胜，则两种字母a和b每次取m+n-1个的可能的排列为2m+n-1种。这样就可求出a出现m次或多于m次的情况为a种和b出现n次或多于n次的情况为b种，而赌注也就应按a：b来分配。
帕斯卡是利用其于1665年发表的论文《三角阵算术》中讨论过的一种数阵──“算术三角形”（称之为帕斯卡三角形）来解这个问题。这种算术三角形（见下图）。数阵中从第二行起任何元素都是由上一行这个元素正上面的元素加上这个元素左面的元素而得到。
任意阶三角形都可通过画一对角线得到（见上图），沿着对角线的数恰好是二项式系数。例如，沿第五条对角线的数，即1，4，6，4，1是（a+b）4展开式中各项的系数。帕斯卡用它来求出从几件物品中一次取r件的组合数，他正确地表述为,其中n!=n（n-1）（n-2）×……×3×2×1。所以沿第五条对角线的数C（4,4）=1，C（4,3）=4，C（4,2）=6，C（4,1）=4，C（4,0）=1，它们的含义分别是a出现四次、三次、二次、一次和0次的方法数。因此点数问题的解[C（4,4）+C（4,3）+C（4,2）]：[C（4,1）+C（4,0）]=11：5。
一般情况，如果A要在m局取胜，B要在n局取胜，那么就可选择第m+n条帕斯卡三角形的对角线，并求出这条对角线上前n个元素的和a与后m个元素的和b,高一。则赌注应按a：b来分配。