逍遥学能 2017-10-30 08:59
数列是高中数学的重要内容,它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系,是每年高考的必考内容。同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法。在处理数列综合问题时,若能灵活运用这些数学思想与方法,则会取得事半功倍的效果。数列中蕴含的数学思想如下:
一.函数思想
数列本身就是一个特殊的函数,而且是离散的函数,因此在解题过程中,尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时,可以将它们看成一个函数,进而运用函数的性质和特点来解决问题。数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数,也可以看成是方程或方程组,特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数,而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数,因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析,加以解决。
二.方程思想
数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第n项和前n项和这些量的数学公式,而公式本身就是一个等式,因此,在求这些数学量的过程中,可将它们看成相应的已知量和未知数,通过公式建立关于求未知量的方程,可以使解题变得清晰、明了,而且简化了解题过程。数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量,“知三求二”是一类最基本的运算。因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法。
三.分类讨论思想
所谓分类讨论,就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时,我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究,最后综合各类的结果得到问题的解决。如在等比数列求和时,对公比是否唯一的讨论。再如山东理科高考题中数列求和时对项数为奇数和偶数的讨论等。
四.化归与转化的思想
我们在处理数学问题时,常常将待解决的问题通过转化,化归成为一类我们比较熟悉问题来解决。化归与转化的思想中隐含着许多数学方法如消元法、构造法、错位相减法、倒序相加法、拆项相消法、拆项分组求和法等
五.归纳猜想数学归纳思想
总之,数学思想与方法是数学“灵魂”,它并不是完全抽象的东西,而是以数学知识为载体的客观存在的内容,是人们解题经验的积累,解题方法提炼和总结,具有应用性、概括性和指导性。因此在数列复习时,应高度重视数学思想方法的渗透,让学生领悟其价值、滋生应用的意识。
来源:233网校论文中心,作者:张磊