逍遥学能 2017-08-22 13:23
高考数学题型归纳：圆锥曲线
1、直线与圆锥曲线的位置关系：
①、要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程，再考查其△，从而确定直线与圆锥曲线的的交点个数：(1)若△0，则直线与圆锥曲线没有公共点;②若△=0，则直线与圆锥曲线有唯一的公共点;③若△0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点;
②、从几何角度来看：直线与圆锥曲线的位置关系对应着相交(有两个交点)、相切(有一个公共点)、相离(没有公共点)三种情况;这里特别要注意的是：当直线与双曲线的渐近线平行时、当直线与抛物线的对称轴平行时，属于相交的情况，但只有一个公共点。
3、直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题,常用的求解方法有两种：
①、设直线方程为y=kx+m，代入到圆锥曲线方程之中，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系去处理(由于直线方程与圆锥曲线方程均未定，因而通常计算量较大);
②、利用点差法：例如在椭圆内有一定点P(x0,y0),求以P为中点的弦的直线方程时，可设弦的两端点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则A、B满足椭圆方程，即有两式相减再整理可得：(x1+x2)(x1-x2)a2=-(y1+y2)(y1-y2)b2;从而可化出k=y1-y2x1-x2=(x1+x2)(y1+y2)-b2a2=x0y0
对于双曲线也可求得：k=y1-y2x1-x2=(x1+x2)(y1+y2)b2a2=x0y0抛物线也可用此法去求解，值得注意的是，求出直线方程之后，要根据图形加以检验。
4、解决直线与圆锥曲线问题的一般方法是：
①、解决焦点弦(过圆锥曲线的焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义和焦半径公式;
②、已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法;
③、圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解决此类问题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解。
典型例题
考点一：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等.利用待定系数法求出相应的a，b，p等.
例1.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴， 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为-4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.
【名师点睛】：充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.
考点2：圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质.
例2：设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，求的值.
思路分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.
解法1：由已知，|PF1||PF2|，|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=，
若PF2F1为直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，可解得：|PF1|=，|PF2|=，这时.
若F2PF1为直角，则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，可解得：|PF1|=4，|PF2|=2，这时.
【名师点睛】：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质(如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等)是应对考试必备的基本功;在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex来求解.
考点3：有圆锥曲线的定义的问题
利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.
1、椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.
椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(0