逍遥学能 2014-04-04 08:12
三、解答题
12.(2009浙江文)设为数列的前项和，，，其中是常数．
⑴求及；
⑵若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
考查目的：考查数列的通项与前项和以及它们之间的关系，考查等比数列的概念以及运算求解能力.
答案：⑴，；⑵或.
解析：⑴当时，；当时，.而也适合上式，所以.
⑵∵，，成等比数列，∴，即，化简并整理得. ∵此式对成立，∴或.
13.(2010全国卷Ⅱ文)已知是各项均为正数的等比数列，且，.
⑴求的通项公式；
⑵设，求数列的前项和.
考查目的：考查等比数列的通项公式与前项和公式、方程与方程组等基础知识，考查运算求解能力.
答案：⑴.⑵.
解析：⑴设的公比为，则.由已知，有 ，
化简得，解得，(舍去)，所以.
⑵由⑴知，所以 .
14.(2008湖南理)数列满足
⑴求，，并求数列的通项公式；
⑵设，，证明：当时，.
考查目的：考查数列递推公式的运用、等差数列、等比数列的概念和通项公式、三角函数等基础知识，考查数列求和、不等式证明的基本方法，以及分析问题解决问题的能力.
答案：⑴，，；⑵略.
解析：⑴∵，，∴，.
一般地，当时，，即，所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此.
当时，，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此.
∴数列的通项公式为.
⑵由⑴知，，①，②，得，，∴.
要证明当时，成立，只需证明当时，成立.
证明：要证明，只需证明.令，则
，∴当时，.
∴当时，.于是当时，.
15.(2012广东理)设数列的前项和为 高考，满足，且，，成等差数列．
⑴求的值；
⑵求数列的通项公式；
⑶证明：对一切正整数，有．
考查目的：考查数列和不等式的概念及其性质、数列与函数的关系等基础知识，考查数列递推公式的运用、不等式放缩等基本方法，考查综合运用知识分析问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.
答案：⑴；⑵；⑶略.
解析：⑴在中，令得；令得，解得，.又∵，∴解得.
⑵由，得.又∵也满足，∴成立，∴，∴，∴.
⑶(法一)∵，∴，
∴.
(法二)∵，∴，当时，，，，…，，累乘得，
∴.