逍遥学能 2014-04-02 15:01
2012-2013学年四川省成都市成华区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、（每小题3分，共30分）
1．（3分）从下面的两种视图中，找出如图所示空心正方体所对应的视图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
分析：空心正方体的主视图、俯视图，是分别从空心正方体的正面、上面看所得到的图形，分析、判读出即可，注意所有的棱都应表现在主视图和俯视图中．
解答：解：如图，空心正方体的主视图是正方形，且有两条竖着的虚线，俯视图是中间有一个圆形的正方形．
故选D．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉，考查了学生的空间想象能力．
2．（3分）（1997•甘肃）方程x2?2x=0的解是（ ）
A．x=2B．x=0C．x1=0，x2=?2D．x1=0，x2=2
考点：解一元二次方程-因式分解法．
分析：方程右边为0，左边分解因式即可．
解答：解：原方程化为x（x?2）=0，
x1=0，x2=2；故选D．
点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
3．（3分）在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≤2且x≠0C．x≥?2且x≠0D．x≥?2
考点：函数自变量的取值范围．
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答：解：根据题意得： ，
解得：x≥?2且x≠0．
故选C．
点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．（3分）（2010•安顺）小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能的是（ ）
A． B． C． D．
考点：平行投影．
分析：在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．
解答：解：矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形或一条线段，
即相对的边平行或重合，
故A不可能，即不会是梯形．
故选A．
点评：本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应视其外在形状，及其与光线的夹角而定．
5．（3分）如果双曲线 过点（3，?2），那么下列的点在该双曲线上的是（ ）
A．（3，0）B．（0，6）C．（?1.25，8）D．（?1.5，4）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：先根据反比例函数y= 中k=xy的特点求出k的值，再对各选项进行逐一分析即可．
解答：解：∵双曲线 过点（3，?2），
∴k=3×（?2）=?6，
A、∵3×0=0≠?6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、∵6×0=0≠?6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、∵（?1.25）×8=?10≠?6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
D、∵（?1.5）×4=?6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y= 中k=xy为定值是解答此题的关键．
6．（3分）下列命题中，错误的是（ ）
A．矩形的对角线互相平分且相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等
D．到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
考点：命题与定理．
分析：分别利用矩形、菱形、垂直平分线的性质和内心的性质进行判断得出答案即可．
解答：解：A、根据矩形的性质，矩形的对角线互相平分且相等，故此选项正确，不符合题意；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故此选项错误，符合题意；
C、三角形的三条角平分线相交于一点，即为内心，故这点到三条边的距离相等，故此选项正确，不符合题意；
D、根据垂直平分线的性质得出，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故此选项正确，不符合题意；
故选：B．
点评：此题主要考查了命题与定理的判断，正确掌握矩形、菱形、垂直平分线的性质和内心的性质是解题关键．
7．（3分）（2009•成都）若关于x的一元二次方程kx2?2x?1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞?1B．k＞?1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0
考点：根的判别式．
专题：压轴题．
分析：方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2?4ac的值的符号就可以了．注意考虑“一元二次方程二次项系数不为0”这一条件．
解答：解：因为方程kx2?2x?1=0有两个不相等的实数根，
则b2?4ac＞0，即（?2）2?4k×（?1）＞0，
解得k＞?1．又结合一元二次方程可知k≠0，
故选B．
点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
本题容易出现的错误是忽视k≠0这一条件．
8．（3分）函数 （a为常数）的图象上有三点（?4，y1），（?1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：先判断出函数反比例函数 的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可．
解答：解：∵a2≥0，
∴?a2≤0，?a2?1＜0，
∴反比例函数 的图象在二、四象限，
∵点（2，y3）的横坐标为2＞0，∴此点在第四象限，y3＜0；
∵（?4，y1），（?1，y2）的横坐标?4＜?1＜0，∴两点均在第二象限y1＞0，y2＞0，
∵在第二象限内y随x的增大而增大，
∴y2＞y1，
∴y2＞y1＞y3．
故选A．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．
9．（3分）（2002•南通）某厂今年内3月的产值为50万元，5月上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？若设这两个月平均每月增长的百分率为x，则可得方程（ ）
A．50（1+x）=72B．50（1+x）+50（1+x）2=72C．50（1+x）×2=72D．50（1+x）2=72
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题；压轴题．
分析：主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先求出4月份产值，再根据4月份的产值列出5月份产值的式子，令其等于72即可得出答案．
解答：解：4月份产值为：50（1+x）
5月份产值为：50（1+x）（1+x）=50（1+x）2=72
故本题选D．
点评：本题考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常要先解出前一个月份的产值，再列出所求月份的产值的方程，令其等于已知的条件即可．
10．（3分）（2004•黄冈）用换元法解方程（x? ）2?3x+ +2=0时，如果设x? =y，那么原方程可转化（ ）
A．y2+3y+2=0B．y2?3y?2=0C．y2+3y?2=0D．y2?3y+2=0
考点：换元法解分式方程．
专题：换元法．
分析：方程的两个分式具备平方关系，如果设x? =y，则原方程化为y2?3y+2=0．用换元法转化为关于y的一元二次方程．
解答：解：把x? =y代入原方程得：y2?3y+2=0．
故选D．
点评：换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
二.题（每小题4分，共20分）
11．（4分）已知方程x2?3x+k=0有两个相等的实数根，则k= ．
考点：根的判别式．
分析：根据题意可知△=0，推出9?4k=0，通过解方程即可推出k的值．
解答：解：∵x2?3x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴9?4k=0，
∴k= ．
故答案为 ．
点评：本题主要考查根的判别式，关键在于根据题意推出9?4k=0．
12．（4分）如图所示，反比例函数图象上一点A，过A作AB⊥x轴于B，若S△AOB=3，则反比例函数的解析式为 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
分析：根据反比例函数y= 的几何意义，求出k，再根据函数图象所在象限求出k的值即可．
解答：解：∵S△AOB=3，
∴k=2×3=6，
又∵函数图象位于二、四象限，
∴k=?6．
故反比例函数解析式为y=? ．
故答案为y=? ．
点评：此题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答时还要根据反比例函数的性质求出k的值．
13．（4分）如图：延长正方形ABCD的边BC至E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC= 112.5 度．
考点：正方形的性质．
专题：．
分析：根据已知及正方形的性质可先求得∠ACE及∠CAE的度数，从而可求得∠AFC的度数．
解答：解：如图，∠ACE=90°+45°=135°，∠CAE= =22.5°，∠AFC=180°?45°?22.5°=112.5°．
故答案为112.5．
点评：解答和正方形有关的题目，要充分利用正方形的对角线平分每一组对角，且解答时要注意45°角的特殊作用．
14．（4分）（2007•眉山）关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为1和2，则b= ?3 ，c= 2 ．
考点：根与系数的关系．
分析：利用根与系数的关系可求得b与c的值．
解答：解：由根与系数的关系可知x1+x2=?b=1+2，
即b=?3，
x1•x2=c=1×2=2，
即c=2．
故本题答案为：?3，2
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解题关键是会利用根与系数的关系来求方程中的字母系数．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=? ，x1•x2= ．
15．（4分）（2013•鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 11 ．
考点：三角形中位线定理；勾股定理．
专题：压轴题．
分析：利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG= AD，EF=GH= BC，然后代入数据进行计算即可得解．
解答：解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC= = =5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG= AD，EF=GH= BC，
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=6，
∴四边形EFGH的周长=6+5=11．
故答案为：11．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
三、（16题每小题12分，满分20分；17题8分；共20分）
16．（12分）（1） （公式法）
（2）x2?2x?2=0（配方法）
考点：解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．
分析：（1）首先把方程化为一元二次方程的一般形式，再找出a，b，c，求出△=b2?4ac的值，再代入求根公式x= ，进行解答即可．
（2）根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再把二次项的系数化为1，最后在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．
解答：解：（1） （公式法），
∵a=1，b=?2 ，c=2，
∴x= = = ；
∴x1=x2= ．
（2）x2?2x?2=0，
x2?2x=2，
x2?2x+1=2+1，
（x?1）2=3，
x?1= ，
x1= +1，x2=1? ．
点评：此题考查了用公式法和配方法解一元二次方程，把方程化为一元二次方程的一般形式找出a，b，c，求出△=b2?4ac的值和掌握配方法的一般步骤是本题的关键．
17．（8分）（2007•益阳）在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度．在阳光下，测得身高1.65米的黄丽同学BC的影长BA为1.1米，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1米．
（1）请你在图中画出此时教学楼DE在阳光下的投影DF．
（2）请你根据已测得的数据，求出教学楼DE的高度．（精确到0.1米）
考点：相似三角形的应用．
专题：．
分析：此题考查了平行投影的知识，在同一时刻物高与影长成正比例；解此题的关键是将实际问题转化为数学问题，借助于相似三角形的性质解题．
解答：解：（1）如图：
连接AC，过E点作EF∥AC交AD于F，
则DF为所求．（2）由平行投影知，△ABC∽△FDE，
则 ，
∴ （），
即教学楼的高度约为18.2．
点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出教学楼的高度．
四、（每小题9分，共18分）
18．（9分）（2010•东莞）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题：证明题；压轴题．
分析：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
解答：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=CB，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；（2）由（1）知道AC=EF，
而△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
点评：此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．
19．（9分）（1999•南京）某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．
考点：二次函数的应用．
专题：方案型．
分析：（1）总利润=每件利润×销售量．设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，据题意可得利润表达式，再求当w=1200时x的值；
（2）根据函数关系式，运用函数的性质求最值．
解答：解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得w=（40?x）（20+2x）=?2x2+60x+800=?2（x?15）2+1250
（1）当w=1200时，?2x2+60x+800=1200，
解之得x1=10，x2=20．
根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．
答：每件衬衫应降价20元．（2）解：商场每天盈利（40?x）（20+2x）
=?2（x?15）2+1250．
当x=15元时，商场盈利最多，共1250元．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．
点评：本题重在考查根据题意写出利润的表达式是此题的关键．
五、（共12分）
20．（12分）Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线y=?x+k+1在第四象限的交点，AB⊥x轴与B，S△ABO= ，如图．
（1）求二函数解析式；
（2）求直线和双曲线的交点坐标；
（3）S△AOC．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：数形结合．
分析：（1）由S△ABO= ，根据反比例函数的系数k几何意义，即可求出k的值；
（2）将两函数解析式组成方程组，求出方程组的解即为交点坐标；
（3）求出直线AC和x轴的交点坐标，结合A、C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出S△AOC．
解答：解：（1）∵S△ABO= ，
∴k=2× =3，
由于反比例函数的图象位于二、四象限，
∴k=?3，
∴反比例函数解析式为y=? ．
一次函数解析式为y=?x?3+1，
即y=?x?2．（2）将反比例函数解析式为y=? 和一次函数解析式为y=?x?2，组成方程组得，
，
解得 ， ．
所以直线和双曲线的交点坐标为A（1，?3），C（?3，1）．（3）如图，令y=0，则有?x?2=0，
解得x=?2，故D点坐标为（?2，0）．
∵D（?2，0），C（?3，1），
∴S△AOC=S△DOC+S△AOD= ×2×1+ ×2×3
=1+3=4．
点评：此题考查了反比例函数的几何意义、反比例函数和一次函数的交点坐标及和图象有关的三角形的面积，求出交点坐标是解题关键．
一、题（每小题4分，共20分）
21．（4分）已知关于x的方程x2?3x+2k?1=0有实数根，反比例函数 的图象在各自象限内y随x增大而减小，则满足上述条件的k的整数值为 0，1 ．
考点：根的判别式；反比例函数的性质．
专题：．
分析：根据判别式的意义得到△=9?4（2k?1）≥0，解得k≤ ，在根据反比例函数性质得到1+2k＞0，解得k＞? ，则k的取值范围为? ＜k≤ ，然后找出此范围内的整数即可．
解答：解：∵关于x的方程x2?3x+2k?1=0有实数根，
∴△=9?4（2k?1）≥0，解得k≤ ，
∵反比例函数 的图象在各自象限内y随x增大而减小，
∴1+2k＞0，解得k＞? ，
∴? ＜k≤ ，
∴满足上述条件的k的整数值为0，1．
故答案为：0，1．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2?4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了反比例函数性质．
22．（4分）（2010•朝阳区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若△POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有 4 个．
考点：菱形的性质；等腰三角形的性质．
专题：证明题．
分析：首先可以确定的P点有3个：①以O为圆心OE为半径作圆，与BD交于两点，都符合P点的要求；②连接OE，OE的中垂线交BD于一点，此点也符合P点要求；
然后连接OE，过E作OD的垂线EF，易得EF是△AOD的中位线，结合菱形的性质可证得EF垂直平分OD，因此OE=DE，即D点也符合P点的要求，所以共有4个点P．
解答：解：如图①，首先可以确定的P点有三个：
一、以O为圆心OE为半径作圆，⊙O交BD于P1、P2；
二、连接OE，作OE的垂直平分线，交BD于P3；
如图②，连接OE，过E作EF⊥OD于F；
由于四边形ABCD是菱形，故AO⊥OD，即EF∥AO；
又∵E是AD中点，
∴F是OD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
即EF垂直平分OD，
∴OE=DE，故D点符合P点的要求；
综上所述，符合条件的P点有4个．
故答案为4．
点评：此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的判定，由于等腰三角形的腰和底不确定，一定要分类讨论，以免漏解．
23．（4分）（2002•黄冈）如果a，b是方程x2+x?1=0的两个根，那么代数式a3+a2b+ab2+b3的值是 ?3 ．
考点：根与系数的关系．
分析：由根与系数的关系可知：a+b=?1，a•b=?1，而a3+a2b+ab2+b3=a3+b3+ab（a+b）=（a+b）（a2?ab+b2）+ab（a+b）=（a+b）[（a+b）2?3ab）]+ab（a+b ），然后把前面的值代入计算即可求出所求代数式的值．
解答：解：由根与系数的关系可知：
a+b=?1，a•b=?1，
a3+a2b+ab2+b3=a3+b3+ab（a+b）
=（a+b）（a2?ab+b2）+ab（a+b）
=（a+b）[（a+b）2?3ab）]+ab（a+b）
=?1×（1+3）+1
=?3．
故填空答案为?3．
点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系及立方和、完全平方公式的应用．
24．（4分）（2005•河南）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线N为梯形ABCD的对称轴，P为N上一动点，那么PC+PD的最小值为 ．
考点：等腰梯形的性质；轴对称-最短路线问题．
专题：压轴题；动点型．
分析：因为直线N为梯形ABCD的对称轴，所以当A、P、C三点位于一条直线时，PC+PD有最小值．
解答：解：连接AC交直线N于P点，P点即为所求．
∵直线N为梯形ABCD的对称轴，
∴AP=DP，
∴当A、P、C三点位于一条直线时，PC+PD=AC，为最小值，
∵AD=DC=AB，AD∥BC，
∴∠DCB=∠B=60°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB
∵∠ACB+∠DCA=60°，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，
∵AB=1，∠B=60°
∴AC=tan60°×AB= ×1= ．
∴PC+PD的最小值为 ．
点评：此题主要考查了等腰梯形的性质、轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．解题关键是分析何时PC+PD有最小值．
25．（4分）如图，点A1、A2、A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线，与反比例函数 的图象分别交于点B1、B2、B3，分别过点B1、B2、B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1、C2、C3，连结OB1、OB2、OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
分析：先根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k，得到S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3= k=2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和．
解答：解：根据题意可知S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3= k=2，
∵OA1=A1A2=A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，
设图中阴影部分的面积从左向右依次为s1，s2，s3
则s1= k=2，
∵OA1=A1A2=A2A3，
∴s2：S△OB2C2=1：4，s3：S△OB3C3=1：9，
∴图中阴影部分的面积分别是s1=2，s2= ，s3= ，
∴图中阴影部分的面积之和=2+ + =2 ．
故答案为：2 ．
点评：此题综合考查了反比例函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k．
二、（共8分）
26．（8分）（2008•成都）金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 ；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元，工程预算的施工费用为50万元．为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
考点：分式方程的应用．
专题：．
分析：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要 x天，工程任务是1，工作效率分别是： ；工作量=时间×工作效率，等量关系为：前10天甲的工作量+后30天甲乙合做工作量=1．就可以列方程了．
（2）在（1）的基础上，知道了甲乙单独完成这项需要的天数，就知道了甲乙的工作效率，用（甲的工作效率+乙的工作效率）×合做天数=1，就可以得出合做天数了，进一步计算出每个队的费用，回答题目的问题．
解答：解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要 x天．
根据题意得： +30×（ + ）=1．
解得：x=90．
经检验：x=90是原方程的根．
∴ x= ×90=60．
答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要60天和90天．
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天．
可得：y（ + ）=1．
解得：y=36．（2分）
需要施工费用：36×（0.84+0.56）=50.4（万元）．
∵50.4＞50
∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算0.4万元．
点评：通过第一问可以得出甲、乙两队单独完成这项工程各需要天数，也就知道了甲乙的工作效率，在第二问中甲乙工作效率是没有变的，要充分运用这个结论．找到合适的等量关系是解决问题的关键．
三、（共10分）
27．（10分）已知：反比例函数 和 在平面直角坐标系xOy第一象限中的图象如图所示，点A在 的图象上，AB∥y轴，与 的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与 、 的图象交于点C、D．
（1）若点A的横坐标为2，求直线CD的解析式：
（2）若点A的横坐标为，梯形ACBD的对角线的交点F，求 的值．
考点：反比例函数综合题．
专题：综合题．
分析：（1）先利用点A在y= 的图象上可确定A点坐标为（2，4），则根据AC∥x轴，AB∥y轴得到C点的纵坐标为4，B点的横坐标为2，再利用C、B在y= 的图象上可确定C点坐标为（ ，4），B点坐标为（2，1）；由于BD∥x轴，则D点的纵坐标与B的纵坐标相等，根据D点在y= 的图象上可确定D点坐标为（8，1），然后利用待定系数法求出直线CD的解析式；
（2）作C⊥y轴于，BN⊥y轴于N，与（1）的方法一样可确定A点坐标为（， ），C点坐标为（ ， ），B点坐标为（， ），D点坐标为（4， ），根据比例系数的几何意义得到S△OCN=S△OB=1，根据梯形的面积公式得到S梯形BNC= ，S梯形ACBD= ；再利用S四边形BONC=S△ONC+S△OBC=S梯形BNC+S△OB得S△OBC=S梯形BNC= ，最后计算 的值．
解答：解：（1）把x=2代入y= 得y=4，则A点坐标为（2，4），
∵AC∥x轴，AB∥y轴，
∵C点的纵坐标为4，B点的横坐标为2，
把y=4代入y= 得x= ；把x=2代入y= 得y=1，
∴C点坐标为（ ，4），B点坐标为（2，1），
∵BD∥x轴，
∴D点的纵坐标与B的纵坐标相等，
把y=1代入y= 得x=8，
∴D点坐标为（8，1），
设直线DC的解析式为y=kx+b，
把C（ ，4）、D（8，1）代入 ，解得 ，
∴直线DC的解析式为y=? x+ ；（2）作C⊥y轴于，BN⊥y轴于N，如图，
当点A的横坐标为，与（1）的方法一样可确定A点坐标为（， ），C点坐标为（ ， ），B点坐标为（， ），D点坐标为（4， ），
∴AC=? = ，BD=4?=3，AB= ? = ，
∴S梯形ACBD= （ +3）• = ；
∵S△OCN=S△OB= ×2=1，S梯形BNC= （ +）• = ，
而S四边形BONC=S△ONC+S△OBC=S梯形BNC+S△OB，
∴S△OBC=S梯形BNC= ，
∴ = = ．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和待定系数法求函数的解析式；记住梯形的面积公式和运用几何图形的面积和差求不规则几何图形的面积．
四、（共12分）
28．（12分）（2008•青岛）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4 c，BC=3 c，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1c/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2c/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y（c2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
考点：相似形综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）当PQ∥BC时，我们可得出三角形APQ和三角形ABC相似，那么可得出关于AP，AB，AQ，AC的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有AC，根据P，Q的速度，可以用时间t表示出AQ，BP的长，而AB可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出AP，那么将这些数值代入比例关系式中，即可得出t的值．
（2）求三角形APQ的面积就要先确定底边和高的值，底边AQ可以根据Q的速度和时间t表示出来．关键是高，可以用AP和∠A的正弦值来求．AP的长可以用AB?BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ边上的高后，就可以得出y与t的函数关系式．
（3）如果将三角形ABC的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（2）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．
（4）我们可通过构建相似三角形来求解．过点P作P⊥AC于，PN⊥BC于N，那么PNC就是个矩形，解题思路：通过三角形BPN和三角形ABC相似，得出关于BP，PN，AB，AC的比例关系，即可用t表示出PN的长，也就表示出了C的长，要想使四边形PQP'C是菱形，PQ=PC，根据等腰三角形三线合一的特点，Q=C，这样有用t表示出的AQ，Q，C三条线段和AC的长，就可以根据AC=AQ+Q+C来求出t的值．求出了t就可以得出Q，C和P的长，也就能求出菱形的边长了．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB= ，
由题意知：AP=5?t，AQ=2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
∴ = ，∴ = ，
∴t= ．所以当t= 时，PQ∥BC．（2）过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，
∴PH=3? t，
∴y= ×AQ×PH= ×2t×（3? t）=? t2+3t．（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴（5?t）+2t=t+3+（4?2t），解得t=1．
若PQ把△ABC面积平分，则S△APQ= S△ABC，即? +3t=3．
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．（4）过点P作P⊥AC于，PN⊥BC于N，
若四边形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．
∵P⊥AC于，
∴Q=C．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴ = ，∴ = ，
∴PN= ，
∴Q=C= ，
∴ t+ t+2t=4，解得：t= ．
∴当t= s时，四边形PQP'C是菱形．
此时P=3? t= c，C= t= c，
在Rt△PC中，PC= = = c，
∴菱形PQP′C边长为 c．
点评：本题图形结合的动态题，是近几年考试热点，同时考查三角形相似知识，是一道很好的综合题．本题亮点是巧妙结合图形综合考查不同知识点．