逍遥学能 2014-03-29 15:41
一、知识与技能
1. 会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值
2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；
3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题
二、过程与方法
1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；
2.让学生从所学知识基础上发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.
三、情感、态度与价值观
1.通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究获取知识.
2.通过三角函数线学习，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间
教学重点：三角函数线的作法及其简单应用
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
一、温故而知新
1. 前面我们学习了利用单位圆定义三角函数，
复习：1单位圆的定义：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2 三角函数的定义：如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦(sine),记做,即；
(2)叫做的余弦(cossine),记做,即；
(3)叫做的正切(tangent),记做,即.
正弦函数,余弦函数,正切函数统称为三角函数
师：我们那么能否在此基础上用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.
二、研探新知
(1)设角的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P作x轴的垂线,垂足M,
用的三角函数表示点P的坐标 ;
线段OM的长度|OM|= ;
线段MP的长度|MP|= .
(利用几何画板演示,角的变化过程中,角的终边和单位圆的交点坐标的变化)
|MP|=|y|=|sinα|, |OM|=|x|=|cosα|
(2)思考1:如何去掉上述等式中的绝对值符号,为此能否给线段OM,MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?
2.有向线段
我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.
当角的终边不在坐标轴上时, 规定：
(1) 以为始点、为终点的线段：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有负值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有
(2)以为始点、为终点的线段，当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有负值；其中为点的纵坐标.这样,无论那种情况都有
像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.
思考2:你能借助单位圆，找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗？
过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.
(利用几何画板演示)
根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有
三、三角函数线
由上述四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，
于是有
, ，.
我们把这三条与单位圆有关的有向线段分别称为角的正弦线,余弦线,正切线.他们统称三角函数线
几点说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
思考1：角的终边在x轴或y轴上时, 角的正弦线,余弦线,正切线是怎样的?
思考2：观察角的终边在各位置的情形,分析三角函数线的变化情况？
四、师生共议，排难解惑，发展思维
例1.画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）；； （2）．
学生练习：画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1） （2）
师：请大家总结这三种三角函数线的作法：
第一步：作出角的终边，与单位圆交于点；
第二步：过点作轴的垂线，设垂足为，得正弦线、余弦线；
第三步：过点(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为，得角的正切线.
特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方
向，分清起点和终点，书写
五、三角函数线的应用
例1. 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1) 与 ； (2) tan与tan ；(3)；
(4)已知，试比较的大小.
例2已知是第一象限角，证明sinα+ cosα＞1;
分析：作单位圆，正弦sina=MP;余弦cosa=OM OP=1
在Rt三角形OMP中MP+OM>OP即sinα+cosα＞1;
课后深入探究：
(1) 对任意角有，sin2 + cos2 = 1
(2) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1,
例3利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合：
（1） （2） （3）
例3变式 利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合：
（1） ; （2）≤- .
分析：先作出满足，的角的终边，
然后根据已知条件确定角终边的范围.
六、变式练习，强化概念
变式1：利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合：
（1）； 高中物理 （2）； （3）tana （4）；
变式2：求下列函数的定义域：
（1） y = (2) y = lg(3－4sin2x) .
七.课堂小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦,余弦,正切函数值分别用正弦线,余弦线,正切线表示出来.
(3)用三角函数线理解三角函数的定义
（4）体会三角函数线的简单应用.
八、作业：
1课后练习第三题
2预习同角三角函数基本关系式
教学后记：本节课容量较大，使用多媒体辅助教学，几何画板动画演示功能正好可以帮助学生做数学试验，探讨数学问题。这样充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提高。例3变式是一个教学难点，学生会遇到三个障碍，一是：两个角的确定，二是从相等到不等式的过渡问题，三是角的集合的表示问题。教学时应让引导学生自己总结出解题方法和步骤 ，安排例3目的是为例3变式作铺垫作用，同时也降低了知识的难度，让其基础差的学生也能学习和掌握知识。另外安排课后深入探究其目的为下节内容作铺垫作用。