中山一中2014-2014学年高二数学上册期中阶段检测试题（附答案）

中山一中2014-2014学年度高二数学（理科）期中考试题
一、：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填入答题卡中相应的题号下。）
1．若 ．则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．“ ”是“x = y”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知数列 是等比数列，且 ， ，那么 （ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
4．设 ，若 是 与 的等比中项，则 的最小值是（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
5．在 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为 ，则塔高为（ ）
A． B． C． D．
6．若 中 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
7．已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前 项和为286，则项数 为（ ）
A．24 B．26 C．27 D．28
8．在等差数列 中 ，且 ，则使前 项和 取最小值
的 等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将正确答案的直接填入答题卡中相应的题号下。）
9．若 ， ，则 、 、 、 由小到大的顺序是_____________（用“ ”连接）．
10． 中已知 ，则 的面积为______________．
11． 是等差数列， ， ，则 ．
12．已知点（3，1）和（－4，6）在直线 的两侧，则的取值范围
是 ．
13．已知锐角三角形的边长分别为2、4、 ，则 的取值范围是______________．
14．等比数列 中，公比 ，且 ，
则 _____________．
中山一中2014-2014学年度高二数学（理科）期中考
试题答题卷
得分__________
一、：（每小题5分，共40分）
题号12345678
答案
二、题：（每小题5分，共30分）
9． __ ； 10．______________ ； 11．______________；
12． __ ； 13． ________ ； 14． __________ ．
三、解答题：（共80分）
15．（本题12分）设 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集为 ，求 的值．
16．（本题12分）在 中， ， ， ．
（1）求边长 、 的值； （2）求 的值．
17．（本题14分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求证：数列 是等比数列，并求其前 项和 ．
18．（本题14分）一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤．但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤5元，稻米每公斤卖3元．现该农民手头有400元，两种作物各种多少，才能获得最大收益？
19．（本题14分）如图所示，巡逻艇在A处测得某走私船在东偏南 方向距A处9海里的B处，正向南偏西 方向行驶，速度为20海里/小时，如果巡逻艇以航速28海里/小时，则应在什么方向用多少时间才能追上这艘走私艇？（ ）
20．（本题14分）数列 的前 项和记为 ， ， （ ） （Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又 ，
， 成等比数列，求 的表达式；
（III）若数列 中 （ ），求数列 的前 项和 的
表达式．
中山一中2014-2014学年度高二数学（理科）期中考试题参考答案
一、选择题：（每小题5分，共40分）
题号12345678
答案ABABADBB
二、填空题：（每小题5分，共30分）
9． ； 10． ； 11．300；
12． ； 13． 14． ．
三、解答题：（共80分）
15．（本题12分）设 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集为 ，求 的值．
解：（1）当 时，不等式 为：
因此所求解集为 ； …………………………6分
（2）不等式 即
由题意知 是方程 的两根
因此 ． ………………12分
16．（本题14分）在 中， ， ， ．
（1）求边长 、 的值； （2）求 的值．
解：（1）由 ，解得： ，
由 ，得 ；…………6分
（2）由正弦定理有： ，
………………………………12分
17．（本题14分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求证：数列 是等比数列，并求其前 项和 ．
解：（1） ， ，解得 ， ，
； ………………………………7分
（2） ， ，
于是数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
其前 项的和 ． …………………………14分
18．（本题14分）一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤．但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤5元，稻米每公斤卖3元．现该农民手头有400元，两种作物各种多少，才能获得最大收益？
解：设该农民种 亩水稻， 亩花生时，能获得利润 元．则
即 ………………2分
即 ………………4分
作出可行域如图阴影部分所示， ………………8分
作出基准直线 ，在可行域内平移直线 ，可知当直线过点 时，纵截距 有最大值，…………………………10分
由 解得 ，…………………………12分
故当 ， 时， 元，…………………………13分
答：该农民种 亩水稻， 亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元．…………………14分
19．（本题14分）如图所示，巡逻艇在A处测得某走私船在东偏南 方向距A处9海里的B处，正向南偏西 方向行驶，速度为20海里/小时，如果巡逻艇以航速28海里/小时，则应在什么方向用多少时间才能追上这艘走私艇？（ ）
解：设巡逻艇用 小时在C处追上走私船．
依题意，在 中， ， ，
，
由正弦定理得：
又 ， 所以 ……………6分
由
答：巡逻艇应向东偏南 ，用 分钟就能追上走私船．…………………14分
20．（本题14分）数列 的前 项和记为 ， ， （ ）．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又 ， ， 成等比数列，求 的表达式；
（III）若数列 中 （ ），求数列 的前 项和 的表达式．
解：（Ⅰ） 由 可得 （ ），
两式相减得 ，于是 （ ），
又 ∴ ，
故 是首项为 ，公比为 得等比数列， ∴ ………………4分
（Ⅱ）设 的公差为 ， 由 ，可得 ，得 ，
故可设 ， 又 ， ， ，
由题意可得 ， 解得 ， ，
∵等差数列 的各项为正，∴ ，于是 ，
； ……………………………8分
（III） （ ）， （ ）， （ ），
①
于是， ②
两式相减得：


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