逍遥学能 2014-03-23 16:02
由一个有趣的数学题，三个瓶子，一个容量为10升，另外两个空容器分别为7升和3升。现在10升容器已装满，三个容器互倒，能否倒出两个五升的油？
经过一番思索，或许你已求出答案：能。那么是怎样解出来的呢？设(a，b，c)表示（10升容器之油量，7升容器之油量，3升容器之油量）我们可用采用“树形图”来表示：
采用“树形图”，可以把倒油的过程很清楚地表示出来，但这揭示出问题的本质了吗？如果是10升、4升、6升容器，又如何倒出两个五升呢？如果我们还用刚长的方法，将不能把结果表示出来，问题出在哪里呢？这种问题所反映的数学本质是什么呢？其实，我们用上面的方法虽然解出第一题，但并不是最好的，那么有没有用更好的方法来解决这类题呢？事实上经过认真的分析可知，对这几个容器倒好倒去，从数学上来看，无非是对某容器的容量进行加减运算。倒出两个5升，必然有5升油在7升的容器内。于是，我们可采用不定方程求解。
设往7升容器倒进x次，从7升容器往3升容器倒出y次，得：
这是个二元一次不定方程。
令(为整数），可以得出：
我们取不定方程的最小的正整数解这事实上正好反映的是树形图中的上一种倒法 高一，如果10升满，4升、6升空，可列不定方程为易知不此定方程无解，即此时无法分出两个5升的油来。
利用不定方程，我们还可以解决一些更复杂的同类问题。如果是50升满，空瓶23升和27升，能否倒出两个25升的来？
假设往27升的容器倒进x次，得
这一不定方程的通解为（其中k为整数）。
其最小正整数解为
可见这一问题的答案要：能。但过程可能很复杂，这就不再用“树形图”表示其过程了。
通过上面两个例子可以知道“类似这种题都可以用不定方程来解。在解数学题时，不要满足于眼前的答案，而是要去寻找问题的本质及它的规律。