逍遥学能 2014-03-23 13:50
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编32：双曲线
一、
1 ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）双曲线 与抛物线 相交于A,B两点,公共弦AB恰好过它们的公共焦点F,则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B抛物线的焦点为 ,且 ,所以 .根据对称性可知公共弦 轴,且AB的方程为 ,当 时, ,所以 .所以 ,即 ,所以 ,即 ,所以 ,选B．
2 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）若双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于其焦距的 ,则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由双曲线 的对称性可取其一个焦点 和一条渐近线 ,则该点到该渐近线的距离为 ,而 ,因此 , ,所以 ,因此双曲线的渐近线方程为 .
3 ．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若点P是以 、 为焦点,实轴长为 的双曲线与圆x2+y2 =10的一个交点,则PA+ PB的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D由题意知 ,所以 ,所以双曲线方程为 .不妨设点P在第一象限,则由题意知 ,所以 ,解得 ,所以 ,所以 ,选D．
4 ．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）设 、 分别为双曲线 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 ,满足 ,且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5 ．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）双曲线 与椭圆 有相同的焦点,双曲线C1的离心率是e1,椭圆C2的离心率是e2,则 （ ）
A． B．1C． D．2
【答案】D双曲线的 ,椭圆的 ,所以 ,即 ,所以 ,选D．
6 ．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）已知O为坐标原点,双曲线 的右焦点F,以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点（ ）
A．B,若 ,则双 曲线的离心率 为（ ）
A．2B．3C． D．
【答案】C
7 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知三个数 构成一个等比数列,则圆锥曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C 因为三个数 构成一个等比数列,所以 ,即 .若 ,则圆锥曲线方程为 ,此时为椭圆,其中 ,所以 ,离心率为 .若 ,则圆锥曲线方程为 ,此时为双曲线,其中 ,所以 ,离心率为 .所以选C．
8 ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）过双曲线 的左焦点 作圆 的切线,切点为E,
延长FE交抛物线 于点 为坐标原点,若 ,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【 解析】抛物线的焦点坐标为 ,准线方程为 .圆的半径为 ,因为 ,所以 是 的中点,又 是切点,所以 ,连结 ,则 ,且 ,所以 ,则 ,过P做准线的垂线 ,则 ,所以 ,在直角三角形 中, ,即 ,所以 ,即 ,整理得 ,即 ,解得 ,所以 ,即 ,所以 ,选D．
9 ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）点P在双曲线 上, 是这条双曲线的两个焦点, ,且 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D【解析】因为 的三条边长成等差数列,所以设 成等差数列,且设 ,则 , ,即 , .又 ,所以 ,解得 ,即 ,所以双曲线的离心率为 ,选D
题
10．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）以双曲线 的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为 ,双曲线的渐近线为 ,不妨取渐近线 ,即 ,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,即 ,所以圆的标准方程为 ,选D．
11．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（ ）
A．）已知双曲线 的一条渐近线的斜率为 ,且右焦点与抛物线 的焦点重合,则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C．2D．2
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为 ,即 .双曲线的渐近线方程为 ,由 ,即 ,所以 ,所以 ,即 ,即离心率为 ,选B．
12．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）圆锥曲线 的两个焦点分别为 ,若曲线 上存在点 满足 ∶ ∶ =4∶3∶2,则曲线 的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D因为 ∶ ∶ =4∶3∶2,所以设 , .若曲线为椭圆,则有 ,所以椭圆的离心率为 .若曲线为双曲线,则有 ,所以椭圆的离心率为 .所以选D．
13．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设F1,F2分别是双曲线 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使 ,O为坐标原点,且 ,则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由 得 ,即 ,所以 ,所以△PF1F2中,边F1F2上的中线等于F1F2的一半,可得 , 所以 ,又 ,解得 ,又 ,所以 ,所以双曲线的离心率为为 ,选（ ）
A．
14．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合,则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
15．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知双曲线 的两条渐近线均与 相切,则该双曲线离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的标准方程为 ,所以圆心坐标为 ,半径 ,双曲线的渐近线为 ,不妨取 ,即 ,因为渐近线与圆相切,所以圆心到直线的距离 ,即 ,所以 , ,即 ,所以 ,选（ ）
A．
16．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线 (a>0,b>0)的离心率为2,该双曲线与抛物线y2= 16x的准线交于A,B两点,若AB=6 ,则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． y2 =1D．
【答案】A
17．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））双曲线 的左、右焦点分别为F1,F2,渐近线分别为 ,点P在第一象限内且在 上,若 ⊥PF1, //PF2,则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2C． D．
【答案】B
【解析】双曲线的左焦点 ,右焦点 ,渐近线 , ,因为点P在第一象限内且在 上,所以设 ,因为 ⊥PF1, //PF2,所以 ,即 ,即 ,又 ,代入得 ,解得 ,即 .所以 , 的斜率为 ,因为 ⊥PF1,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,解得 ,所以双曲线的离心率 ,所以选B．
18．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知双曲线 的实轴长为2,焦距为4,则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C由题意知 ,所以 ,所以 .又双曲线的渐近线方程是 ,即 ,选C．
19．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）过双曲线 (a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)作圆 的切线,切点为E,延长FE交抛物线 于点P,O为原点,若 ,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ,所以 是 的中点.设右焦点为 ,则 也是抛物线的焦点.连接 ,则 ,且 ,所以 ,设 ,则 ,则 过点F作 轴的垂线,点P到该垂线的距离为 ,由勾股定理得 ,即 ,解得 ,选（ ）
A．
20．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题） 为双曲线 的左右焦点,过点 作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为 ,满足 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
21．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））方程 表示双曲线,则 的取值范围是（ ）
A． B． 或 或
C． 或 D． 或
【答案】D
22．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））已知双曲线 ( )的左、右焦点为 ,设 是双曲线右支上一点, ,且 ,则双曲线的离心率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】（ ）
A．
23．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知椭圆方程 ,双曲线 的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2D．3
【答案】C
【 解析】椭圆的焦点为 ,顶点为 ,即双曲线中 ,所以双曲线的离心率为 ,选C．
24．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知三个数2,,8构成一个等比数列,则圆锥曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
25．（2011年高考（山东理））已知双曲线 的两条渐近线均和圆 相切,且双曲线的右焦点为圆 的圆心,则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】解析:圆 , 而 ,则 ,答案应选（ ）
A．
26．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,若PF1=10,椭圆与双曲线的离心率分别为 , ,则 +1的取值范围是（ ）
A．(1, )B．( , )C．( , )D．( ,+ )
【答案】B
27．（2012年山东理）(10)已知椭圆C: 的离心率为 ,双曲线x²-y²=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为
【答案】双曲 线x²-y²=1的渐近线方程为 ,代入 可得 ,则 ,又由 可得 ,则 ,
于是 .椭圆方程为 ,答案应选D．
28．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）斜率为 的直线与双曲 线 恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
二、题
29．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）以抛物线 的焦点为圆心,且与双曲线 的两条渐近线都相切的圆的方程为_________.
【答案】 【解析】抛物线的焦点坐标为 ,所以圆心坐标为 .双曲线的渐近线为 ,即 ,不妨取直线 ,则圆心到直线的距离 ,即圆的半径 ,所以圆的方程为 .
30．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直,则 双曲线的离心率等于______________.
【答案】 双曲线的渐近线为 .直线 的斜率为 .因为 与直线 垂直,所以 ,即 .所以 ,即 .
31．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））过双曲线 =1(a>0,b>0)的左焦点F,作圆 的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】设双曲线的右焦点为 ,连接P,因为E为PF的中点,所以OE为三角形FP的中位线,所以P=2OE= ,所以PF=3 ,EF= ,又FE为切线,所以有 ,所以 .
32．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）已知F1、F2分别是双曲线 的左 、右焦点,P为双曲线上的一点,若 ,且 的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是________.
【答案】【解析】设 , ,则 ,又 为等差数列,所以 ,整理得 ,代入 整理得, ,解得 ,所以双曲线的离心率为 .
33．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）若双曲线 的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线 的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为______.
【答案】 抛物线的焦点坐标为 ,由题意知 , ,所以 ,即 ,所以 ,所以 .
34．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）如图,F1,F2是双曲线C: (a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若 AB : BF2 : AF2 =3 : 4 : 5,则双曲线的离心率为____________.
【答案】
35．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）设双曲线 的离心率为2,且一个焦点与抛物线 的焦点相同,则此双曲线的方程为______.
【答案】
抛物线的焦点坐标为 ,所以双曲线的焦点在 轴上且 ,所以双曲线的方程为 ,即 ,所以 ,又 ,解得 ,所以 ,即 ,所以双曲线的方程为 .
36．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）过双曲线 的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为___________.
【答案】
三、解答题
37．（2010年高考（山东理））如图,已知椭圆 的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 为顶点的三角形 的周长为 .一等轴双曲线的顶 点是该椭圆的焦点,设 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 和 与椭圆的交点分别为 和 .
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线 、 的斜率分别为 、 ,证明 ;
(Ⅲ)是否存在常数 ,使得 恒成立 ?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】【解析】(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为 ,得 ,又 ,所以可解得 , ,所以 ,所以椭圆的标准方程为 ;所以椭圆的焦点坐标为( ,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶 点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为