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(时间：100分钟 满分：120分)
一、(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知命题p：若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则1a<1b.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③?p；④?q.其中真命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 命题p为真，命题q为假，故p∨q真，?q真．
答案 B
2．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝12”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 当α＝π6＋2kπ(k∈Z)时，cos 2α＝cos(4kπ＋π3)＝cos π3＝12.反之当cos 2α＝12时，有2α＝2kπ＋π3(k∈Z)⇒α＝kπ＋π6(k∈Z)，或2α＝2kπ－π3(k∈Z)⇒α＝kπ－π6(k∈Z)，故应选A.
答案 A
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么AB等于( )．
A．10 B．8 C．6 D．4
解析 由抛物线的定义得AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案 B
4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a等于( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.
答案 D
5．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )．
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析 y2＝ax的焦点坐标为(a4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－a4)，令x＝0得y＝－a2.∴12×a4×a2＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.
答案 B
6．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点共有( )．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 在极小值点附近左负右正，有一个极小值点．
答案 A
7．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )．
A.3 B．2 C.5 D.6
解析 双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，因为y＝x2＋1与渐近线相切，故x2＋1±bax＝0只有一个实根，∴b2a2－4＝0，∴c2－a2a2＝4，∴c2a2＝5，∴e＝5.
答案 C
8．双曲线x2a2－y2b2＝1与椭圆x22＋y2b2＝1(a>0，>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、为边长的三角形一定是( )．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
解析 双曲线的离心率e21＝a2＋b2a2，椭圆的离心率e22＝2－b22，由已知e21e22＝1，即a2＋b2a2×2－b22＝1，化简，得a2＋b2＝2.
答案 C
9．函数y＝xln x在(0，5)上是( )．
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在0，1e上单调递增，在1e，5上单调递减
D．在0，1e上单调递减，在1e，5上单调递增
解析 f′(x)＝ln x＋x•1x＝ln x＋1(x>0)．
令f′(x)＝0，得x＝1e，
∴在x∈0，1e上，f′(x)<0，在x∈1e，5，f′(x)>0，故选D.
答案 D
10．若0<x<π2，则2x与3sin x的大小关系( )．
A．2x>3sin x B．2x<3sin x
C．2x＝3sin x D．与x的取值有关
解析 令f(x)＝2x－3sin x，则f′(x)＝2－3cos x.
当cosx<23时，f′(x)>0，
当cos x＝23时，f′(x)＝0，
当cos x>23时，f′(x)<0.
即当0<x<π2时，f(x)先递减再递增，
而f(0)＝0，fπ2＝π－3>0.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x的大小关系与x取值有关．故选D.
答案 D
二、题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
11．给出下列结论：
①若命题p：∃x∈R，tan x＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧?q”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．
其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．
解析 对于①，命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧?q为假命题，故①正确；对于②，当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③.
答案 ①③
12．与双曲线x2－y24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是______________．
解析 依题意设双曲线的方程x2－y24＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x23－y212＝1.
答案 x23－y212＝1
13．曲线y＝xx－2在点(1，－1)处的切线方程为________．
解析 y′＝x－2－x（x－2）2＝－2（x－2）2，∴y′x＝1＝－2，
故所求切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.
答案 2x＋y－1＝0
14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x225＋y29＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______．
解析 ∵PF1⊥PF2，∴PF12＋PF22＝F1F22，由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴PF12＋PF22＝4c2＝64，PF1＋PF2＝2a＝10，解得PF1PF2＝18.∴△PF1F2的面积为12PF1•PF2＝12×18＝9.
答案 9
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知命题p：方程x22＋y29－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线y25－x2＝1的离心率e∈(62，2)，若命题p、q中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．
解 若p真，则有9－>2>0，
即0<<3.若q真，则有>0，
且e2＝1＋b2a2＝1＋5∈(32，2)，即52<<5.
若p、q中有且只有一个为真命题，则p、q一真一假．
①若p真、q假，
则0<<3，且≥5或≤52，即0<≤52；
②若p假、q真，
则≥3或≤0，且52<<5，即3≤<5.
故所求范围为：0<≤52或3≤<5.
16．(10分)已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a的取值范围．
解 由f(x)>1，得ax－ln x－1>0.
即a>1＋ln xx在区间(1，＋∞)内恒成立．
设g(x)＝1＋ln xx，则g′(x)＝－ln xx2，
∵x>1，∴g′(x)<0.
∴g(x)＝1＋ln xx在区间(1，＋∞)内单调递减．
∴g(x)<g(1)＝1，
即1＋ln xx<1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.
17．(10分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点．
(1)求a的取值范围；
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
解 (1)由y＝ax＋1，3x2－y2＝1消去y，
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得3－a2≠0，Δ>0，即－6<a<6且a≠±3.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2a3－a2，x1x2＝－23－a2.
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)•－23－a2＋a•2a3－a2＋1＝0，
∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．故a＝±1.
18．(12分)某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？
解 设在甲地销售辆车，在乙地销售(15－)辆车，
则总利润y＝5.06－0.152＋2(15－)＝－0.152＋3.06＋30，所以y′＝－0.3＋3.06.
令y′＝0，得＝10.2.
当0≤<10.2时，y′>0；
当10.2<≤15时，y′<0.
故当＝10.2时，y取得极大值，也就是最大值．
又由于为正整数，且当＝10时，y＝45.6；
当＝11时，y＝45.51.
故该公司获得的最大利润为45.6万元．
19．(12分)设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点(355，455)，F(5，0)，且P为L上动点，求P－FP的最大值及此时点P的坐标．
解 (1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.
圆(x＋5)2＋y2＝4的圆心为F1(－5，0)，半径为2，
圆(x－5)2＋y2＝4的圆心为F(5，0)，半径为2.
由题意得CF1＝r＋2，CF＝r－2或CF1＝r－2，CF＝r＋2，
∴CF1－CF＝4.∵F1F＝25>4，
∴圆C的圆心轨迹是以F1(－5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.
(2)由图知，P－FP≤F，
∴当，P，F三点共线，且点P在F延长线上时，P－FP取得最大值F，
且F＝（355－5）2＋（455－0）2＝2.
直线F的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得
y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.
解得x1＝14515(舍去)，x2＝655.此时y＝－255.
∴当P－FP取得最大值2时，点P的坐标为
(655，－ )．
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