江苏镇江中学2013-2014年高二上数学期中试题及答案

江苏省镇江中学2014-2014学年度高二上学期
数学期中试卷
注意事项:
1．本试题由题和解答题两部分组成,满分160分，考试时间为120分钟.
2. 答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.
3. 作题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.
一 题
1. 若 ，则 是方程 表示双曲线的 条件。
2．已知P： 2x－3 ＞1；q：1x2+x－6>0，则 p是 q的_____ ___条件．
3．已知双曲线的两条准线将两焦点间的线段三等分，则双曲线的离心率是______________．
4. 曲线 在 处的切线方程为 ．
5．已知P是抛物线y2＝4x上的一点，A(2,2)是平面内的一定点，F是抛物线的焦点，当P点坐标是______ _时，PA＋PF 最小．
6．双曲线 左支上一点 到其渐近线 的距离是 ，则 的值为　.
7．已知双曲线 的一条渐近线的方程为 ，则此双曲线两条准线间距离为___．
8.设 为曲线 上一点,曲线 在点 处的切线的斜率的范围是 ,则点 纵坐标的取值范围是________.
9．若函数 有三个单调区间，则 的取值范围是 ．
10．已知命题 与命题
都是真命题,则实数 的取值范围是 .
11．函数 上的最大值为
12.设 分别是椭圆 的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点 ,使得线段 的垂直平分线恰好经过点 ,则椭圆的离心率的取值范围是________.
13．已知抛物线 到其焦点的距离为5，双曲线 的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=
14．若椭圆 上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是 .
二 填空题
15．已知P：对任意a∈[1,2],不等式 恒成立；
Q：函数 存在极大值和极小值。求使“P且 Q”为真命题的m的取值范围。
16．如图,在直三棱柱 中, ， 分别是 的中点，且 .
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)求证： 平面 .
17．已知椭圆 的右焦点为F,右准线为 ，且直线 与 相交于A点.
(Ⅰ)若⊙C经过O、F、A三点,求⊙C的方程；
(Ⅱ)当 变化时, 求证：⊙C经过除原点O外的另一个定点B；
(Ⅲ)若 时,求椭圆离心率 的范围.
18．已知圆 ，相互垂直的两条直线 、 都过点 .
（Ⅰ）若 、 都和圆 相切，求直线 、 的方程；
（Ⅱ）当 时，若圆心为 的圆和圆 外切且与直线 、 都相切，求圆 的方程；
（Ⅲ）当 时，求 、 被圆 所截得弦长之和的最大值.
已知椭圆焦点在x轴上且长轴长 ，焦距 ，过椭圆焦点 作一直线，交椭圆于两点M, N，设MN的倾斜角为 ，当 取什么值时，MN等于椭圆的短轴长？
19．双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2，O为原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上， ，
（1）求双曲线的离心率e；
（2）若此双曲线过C（2， ），求双曲线的方程；
（3）在（2）的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1的直线l交双曲线M、N， 的方程。
20已知椭圆焦点在x轴上且长轴长 ，焦距 ，过椭圆焦点 作一直线，交椭圆于两点M, N，设MN的倾斜角为 ，当 取什么值时，MN等于椭圆的短轴长？
江苏省镇江中学2014-2014学年度高二上学期
数学期中试卷答案
1.充分不必要； 2．充分不必要条件； 3． ． 4. ． 5． ；
6． 　； 7． ； 8. ； 9. ． 10.
11． ； 12. ； 13. ； 14．
15.若P真，则 ；
若Q真，则 即 。
当P真且 为真时，
16.证:(Ⅰ)连接 交 于 ,连接 .
∵ 分别是 的中点，∴ ∥ 且 = ,∴四边形 是矩形.
∴ 是 的中点…………………………………………………(3分)
又∵ 是 的中点,∴ ∥ ………………………………………………………(5分)
则由 , ,得 ∥ …………………………………(7分)
(注:利用面面平行来证明的,类似给分)
(Ⅱ) ∵在直三棱柱 中， ⊥底面 ,∴ ⊥ .
又∵ ,即 ⊥ ,∴ ⊥面 ………(9分)
而 面 ,∴ ⊥ ……………………………(12分)
又 ,∴ 平面 ………………………………………(14分)
17．解:（Ⅰ） ,即 ,
,准线 , …………………(2分)
设⊙C的方程为 ,将O、F、A三点坐标代入得：
,
解得 ………………………………………………………(4分)
∴⊙C的方程为 …
（Ⅱ）设点B坐标为 ,则 ,整理得：
对任意实数 都成立………)
∴ ,解得 或 ,
故当 变化时，⊙C经过除原点O外的另外一个定点B …
（Ⅲ）由B 、 、 得 ,
∴ ,
解得 ……………………………………………(12分)
又 ,∴ ………
又椭圆的离心率 （ ）
∴椭圆的离心率的范围是 ……
18.解：（1）根据题意得 的斜率都存在，设 ……（1分）
则
……………………（6分）
（2）设圆的半径为 ,则
解得
所以所求圆 的方程为 ……………………（11分）
（3）当 时， 、 被圆 所截得弦的中点分别是E、F，当 时， 、 被圆 所截得弦长分别是 ；圆心为B,则AEBF为矩形，
所以 ，即
……………………（14分）
所以
即 、 被圆 所截得弦长之和的最大值 ……………………（16分）


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