黑龙江省绥化市第九中学高二理科数学寒假训练题（共5份，必修1-5

黑龙江省绥化市第九中学高二理科寒假训练题（一）
一、：
1. 集合 ，若 ，则 （ ）
A. {0,1,2} B. {0,1,3}C. {0,2,3}D. {1,2,3}
2.若 都是实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A． 充分而不必要条件B． 必要而不充分条件C． 充分必要条件D． 既不充分也不必要条件
3．已知等差数列 的前13项之和为 ，则 等于（ ）A. 18　　　 B. 12　 C. 9　　　 D. 6
4.将函数y＝co sx－π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为(　) 　
A．x＝π9 B．x＝π8 C．x＝π2 D．x＝π
5.已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6.设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知点 满足 ，点 在曲线 上运动，则 的最小值是( )
A． B． C． D．
8.在长方体 中， ．若 分别为线段 ， 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点 ,若点 在抛物线 的图象上，则使得 的面积为 的点 的个数为（ ）
A． 4 B． 3 C．2D．1
10．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 的直线交双曲线右支于 两点，且 ，若 是以 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
二、题：
11.已知半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则 的值是_____
12.△ABC的三个内角A、B、C对应的边分别为 、 、 ，若 ，则
13.已知椭圆 的两焦点为 ,点 满足 , 则 的取值范围为__.
14.已知 的矩形 ，沿对角线 将 折起，使得面 面 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
15.下列命题中，正确的是 .(写出所有正确命题的编号)
①在 中， 是 的充要条件；②函数 的最大值是 ；
③若命题“ ，使得 ”是假命题，则 ；
④若函数 ，则函数 在区间 内必有零点.
三、解答题：
16. 设数列 的前 项和为 ，且 ；数列 为等差数列，且 ， .(Ⅰ) 求数列 的通项公式；(Ⅱ) 若 ， 为数列 的前 项和. 求证： .
17.如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东 ，俯角为 的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西 ，俯角为 的C处.（1）求船的航行速度是每小时多少千米（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，则此时船距海岛A有多远？（千米/小时）
18.设动点 到定点 的距离比它到 轴的距离大 .
（Ⅰ）求动点 的轨迹方程 ；
（Ⅱ）设过点 的直线 交曲线 于 两点， 为坐标原点，求 面积的最小值.
19.如图， 中， ，分别过 作平面 的垂线 和 ，连结 和 交于点 .
（Ⅰ）设点 为 中点，若 ，求证：直线 与平面 平行；
（Ⅱ）设 为 中点，二面角 等于 ，求直线 与平面 所成角
的大小.
20．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是椭圆上位于 轴上方的动点．
（Ⅰ）当 取最小值时，求 点的坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的情形下，是否存在以 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由.
黑龙江省绥化市第九中学高二理科寒假训练题（一）答案
一、：DCCCD CACBD
二、题:11. -2 12. 13. 14. 15.(2)(3)(4)
三、解答题：
16.解：（1）由 ，令 ，则 ，又 ，所以 .
，则 . 当 时，由 ，可得
.即 .
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，于是 . …………4分
（2）数列 为等差数列，公差 ,可得 . ………………6分
从而 . …
.
从而 . 　 …………………………12分
17.解：（1）在
,
则船的航行速度为 （千米/小时）
（2）在 中,
由正弦定理得
18．解：（1）
（2）设直线 的方程为 ，由 联立得：
设 ，有
∴ ，即 的面积最小值为8.
19． 解：（Ⅰ）若 ，由中位线知： ，而 ，
∴
（Ⅱ）
20．解：（Ⅰ）设 ， ，则
因为 在椭圆上，所以 ，
，当 时， 取得最小值，此时 点的坐标为 .
（Ⅱ）设两个顶点为B，C，显然直线AC斜率存在，不妨设AC的直线方程为 ，代入椭圆的方程 中可得 ，解得 （即A点的横坐标），
由弦长公式得：
同理：
由 ，即 ，化解得：
，即 .
考虑关于 的方程 ，其判别式
（1）当 时， ，其两根设为 ，由于 ，故两根必为正根，显然 ，故关于 的方程 有三解，相应地，这样的等腰直角三角形有三个.
（2）当 时， ，此时方程 的解 ，故方程
只有一解，相应地，这样的等腰直角三角形只有一个.
（3）当 时，显然方程只有 这一个解，相应地，这样的等腰直角三角形只有一个.
综上：当 时，这样的等腰直角三角形有三个；当 时，这样的等腰直角三角形只有一个.
黑龙江省绥化市第九中学高二理科寒假训练题（二）
一、选择题：
1. 下列四个函数中，同时具有性质：①最小正周期为 ；②图象关于点 对称的一个函数是( ).
A. 　B. C. D.
2. 若数列{an）是等比数列，且a2=2，a1a2=9，则数列（an）的公比是 ( )
A． B． c． 或一 D．一 或
3. 已知实数 满足条件 则 的取值范围是( ).
A. B. C. D.
4. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形.如果直角三角形的斜边长为 ，那么这个几何体的外接球的体积为( ).
A. B. C. D.
5. 三个数 之间的大小关系是( ).
A. B. C. D.
6. 过椭圆 的左焦点 作倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 两点，则 ( )
A. B. C. D.
7. 在区间[?1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）
与圆 相交的概率为（ ）
A． B． C． D．
8. 如果执行右面的程序框图，那么输出的 （ ）
A．96 B．120C．144D．300
9. 已知 为 的三个内角 的对边，向量 ， ，若 ，且 ,则 ( )A. B. C. D.
10. 已知函数 是以2为周期的偶函数，当 时， .若关于 的方程 ( )在区间 有四个不同的实根，则 的取值范围是( ).
A. B. C. D.
二、填空题：
11. 已知向量 ，如果 ，则
12. 已知P是抛物线 上的一个动点，过点P 作圆 的切线，切点分别为M,N,则 的最小值是__
13. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则抛物线 上一点 到该抛物线焦点F的距离是
14. 设命题 ，命题 ；如果“ ”为真，“ ”为假，则 的取值范围为___
15. 给出定义：若 (其中 为整数)，则 叫做离实数x最近的整数，记作 ，即 = . 在此基础上给出下列关于函数 的四个命题：
①函数 的定义域是 ，值域是 ；②函数 的图像关于直线 对称；③函数 是周期函数，最小正周期是1；④ 函数 在 上是增函数. 则其中真命题是__ ．（请填写序号）
三、解答题：
16. 已知向量 .设 ， .
(Ⅰ)求函数 的表达式及 的单调递减区间；
(Ⅱ)在 中， 分别是角 的对边，若 ， ，求 的值．
17. 已知数列{ }满足
⑴求数列{ }的通项公式；
⑵求数列{ }的前 .
18. 某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表. 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19 .
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知 ,求初三年级中女生比男生多的概率.
19. 如图，已知正方形 的边长为1， ， ， ， 为 边上的动点.
(Ⅰ)证明： 平面 ；
(Ⅱ)试探究点 的位置，使 .
20. 已知椭圆的中心在原点，焦点 在 轴的非负半轴上，点 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点 距离的最大值是6.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率 ；
(Ⅱ)若 为焦点 关于直线 的对称点，动点 满足 ，问是否存在一个定点 ，使 到点 的距离为定值？若存在，求出点 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
黑龙江省绥化市第九中学高二理科寒假训练题（二）答案
一、选择题：CCADC ACBAC
二、填空题：
11. 12. 13.3 14. 15.①②③.
三、解答题：
16.解：(Ⅰ)∵ ，
∴ .
令 ，得 ，
又∵ ， ∴ ，∴函数 的单调递减区间是 .
……………6分
(Ⅱ)由 得 ，∴ ，
又∵ 为 的内角，∴ 　　　　　
　　　 　　　
…………………………………12分
17. 解（1）设数列 的前n项和为 ,则 ……………2分
…………………………………………6分
（2）由 ①
②……………………………8分
由②-①得， ………………………．．……10分
…………………………………………………………．．12分
18. 解: (1)由 ,解得 ,
(2)初三年级人数为 ,
设应在初三年级抽取m人,则 ,解得m=12.
答: 应在初三年级抽取12名.
（3）设初三年级女生比男生多的事件为 ,初三年级女生和男生数记为数对 ,
由（2）知 ,则基本事件总数有：
共11个,
而事件 包含的基本事件有： 共5个, ∴
19.解：(I）
又 且 ，
. …………………………6分
(Ⅱ）以D为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标 ，
依题意，得
设 ，平面 的法向量为 ,平面 的法向量为 , 取
得
又 ,
取 得
若平面 平面 ，则 ， ，解得 ，
此时 为 的中点。所以当 在 的中点时， .
………………………………………12分
20. 解：(Ⅰ）设椭圆长半轴长及半焦距分别为 ，由已知得
.
所以椭圆的标准方程为 . 离心率 …………………………6分
(Ⅱ） ,设 由 得
化简得 ，即
故存在一个定点 ，使 到 点的距离为定值，其定值为 ………………12分
黑龙江省绥化市第九中学高二理科寒假训练题（三）
一、选择题：
1.已知集合 ，集合 ，全集 ，则集合 （ ）A. B. C. D.
2.一个空间几何体的三视图如图（1）所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.数列 满足 ， ， ，
则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.大小关系不确定
4.连续投掷两次骰子得到的点数分别为 ，向量 与向量 的夹角记为 ，则 的概率为（ ）A. B. C. D.
5.直线 和 把曲线 所围成的区域分成四个部分，则 与 满足的关系为（ ）
A. B. C. D.
6.下列四个命题中不正确的是（ ）
A.若动点 与定点 、 连线 、 的斜率之积为定值 ，则动点 的轨迹为双曲线的一部分
B.设 ，常数 ，定义运算“ ”： ，若 ，则动点 的轨迹是抛物线的一部分
C.已知两圆 、圆 ，动圆 与圆 外切、与圆 内切，则动圆的圆心 的轨迹是椭圆
D.已知 ，椭圆过 两点且以 为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
7.已知直线 （ ）与圆 相切，则三条边长分别为a，b，c的三角形( )
A．是锐角三角形B．是直角三角形
C．是钝角三角形D．不存在
8. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝3，D、E分别是AC1和
BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为( )
A．π6 B．π4 C．π3 D．π2
9. 过双曲线M：x2－y2b2＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且AB＝BC，则双曲线M的离心率是( )
A．52B．103 C．5D．10
10. 点P在曲线C：x24＋y2＝1上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l：x＝4于B点，满足PA＝PB或PA＝AB，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是( )
A．曲线C上的所有点都是“H点”
B．曲线C上仅有有限个点是“H点”
C．曲线C上的所有点都不是“H点”
D．曲线C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“H点”
二、填空题：
11.在同一平面直角坐标系中， 的图象与 的图象关于直线 对称，而 的图象与 的图象关于点 对称，若 ，则实数 的值为　　　　　　　
12.已知实数 满足 ，目标函数 的最小值和最大值分别为 和 ，
则 的值为　　　
13.执行如图（2）所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为　　　　　　　　．
14. 如果点M（ ）在运动过程是总满足关系式 ，
则点M的轨迹方程为 _______
15.给出下列命题,其中正确的命题是　　　　　　（写出所有正确命题的编号）．
① 非零向量 满足 ，则 与 的夹角为 ；
② 已知非零向量 ，则“ ”是“ 的夹角为锐角”的充要条件；
③ 命题“在三棱锥 中，已知 ，若点 在 所在的平面内，则 ”的否命题为真命题；
④ 若 ，则 为等腰三角形．
三、解答题：
16．在各项为正的等差数列 中，首项 ，数列 满足
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： ．
17.设 的内角 所对的边长分别为 ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的最大值，并判断当 取最大值时 的形状．
18.已知矩形 中， ， ，点 在 上且 （如图（3））．把 沿 向上折起到 的位置，使二面角 的大小为 （如图（4））．
（Ⅰ）求四棱锥 的体积；
（Ⅱ）求 与平面 所成角的正切值；
（Ⅲ）设 为 的中点，是否存在棱 上的点 ，使 平面 ？若存在，试求出 点位置；若不存在，请说明理由．
19.已知椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ，直线 与椭圆交于不同的两点 ，若 是以 为直径的圆上的点，当 变化时， 点的纵坐标 的最大值为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 且斜率 为的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，是否存在 ，使得向量 与 共线？若存在，试求出 的值；若不存在，请说明理由．
黑龙江省绥化市第九中学高二理科寒假训练题（三）答案
一、选择题：ABCBA DBBBD
二、填空题：11. 2 12.2 13. 1 14. 15.① ③ ④
三、解答题：
16．解：（1）设等差数列 的公差为d， ，
由 ，解得d=1．
（2）由（1）得
设 ，
则
两式相减得
．
17.解：（1）由 可得
=3
（2）设 ，则 且
此时 ，故 ，△ABC为直角三角形
18.
解：（1）取AE的中点P，连接DP，
由DA=DE,
故 为等边三角形， 在平面ABCD内的射影H为PD的中点
，又
（2）在三角形CDH中，由
由余弦定理可得
（3）取CE的中点F，则MF//D/E,在平面ABCE内过F作FN//AE交AB于N，
MF NF=F,D/E AE=E则平面MFN//平面D/AE
又MN在平面MFN内，故MN//平面D/AE
此时AN=EF= CE= ,故存在N使MN//平面D/AE
19.解：（1）由 ，
，圆心为
以EF为直径的圆的方程为：
（当 时取等）
令 则
依题
椭圆C的方程为：
（2） ，由 消去y:
设 ,PQ的中点M
由点差法： 即 ①
M在直线 上 ②
又 ，而 与 共线，可得 // ③,由①②③得 ，
这与 矛盾，故不存在
黑龙江省绥化市第九中学高二理科寒假训练题（四）
一、选择题：
1.设全集U是实数集R， ，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2.下列选项叙述错误的是（ ）
A．命题“若 ，则 ” 的逆否命题是“若 ，则 ”
B．若命题 ，则
C． 若 为真命题，则 ， 均 为真命题
D．“ ”是“ ”的充分不必要条件
3.一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是（ ）
A. ①② B.②③ C.③④ D.①④
4.在 上有一点 ，它到 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 的坐标是（ ）
A．（－2，1） B．（1，2） C． (2，1） 　 D．（－1，2）
5.已知两条不重合的直线 、 ，两个不重合的平面α、β， ⊥α， β，给出下列命题：①α∥β ⊥m ②α⊥β ∥m ③ ∥m α⊥β ④ ⊥m α∥β
其中正确命题的序号是（ ）
A． ①② B． ③④ C． ①③ D． ②④
6.以椭圆 内的点 为中点的弦所在直线方程（ ）
A. B. C. D.
7. 将函数y=sinx的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
A.y=sin(2x- ) B.y=sin(2x- ) C.y=sin( x- ) D.y=sin( x-[ )
8. 若x、y满足条件 ,且当x=y=3时,z =ax+y取最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（- ） B．（-∞，- ）∪（ ，+∞） C．（ ） D．（-∞，- ）∪（ ，+∞）
9.已知双曲线 的右焦点F，直线 与其渐近线交于A，B两点，且 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10已知函数 ，把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前10项的和S10＝( )
A．210-1 B．29-1 C．45 D．55
二、填空题：
11．已知数列 是公差不为零的等差数列， 成等比数列，则 =
12.已知抛物线方程为 ，直线 过定点 ，斜率为 ，当 直线 与抛物线 只有一个公共点时，斜率 取值的集合为_________________
13. 知点G是△ABC的重心，若∠A=120°， ? =-2，则 的最小值是________． 14. 已知双曲线 =1(a＞0，b＞0)的渐近线到点M(3,0)的距离为2，则双曲线的离心率为________.
15．给出下列四个命题：
（1）函数 的值域是 ；
（2）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上的所有点向右平移 个单位长度；
（3）当 或 时，幂函数 的图象都是一条直线；
（4）已知函数 ，若 互不相等，且 ，则 的取值范围是 ．
其中正确结论的序号是 （把正确命题的序号都填上）
三、解答题：
16．在 中，角 所对的边分别为 、 、 ，且 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值．
17.在直角梯形PBCD中， ，A为PD的中点，如下左图。将 沿AB折到 的位置，使 ，点E在SD上，且 ，如下右图。
（Ⅰ）求证： 平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E?AC?D的正切值；
18.在各项为正的等差数列 中，首项 ，数列 满足
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： ．
19.已知点 在椭圆C： 上，且椭圆C的离心率为 ．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过点 作直线交椭圆C于点 ， 的垂心为 ，是否存在实数 ，使得垂心 在Y轴 上.若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说 明理由.
黑龙江省绥化市第九中学高二理科寒假训练题（四）
一、选择题：CCBBC DCCDC
二、填空题：11． 12. 13. 14. 15．①④
三、解答题：
16． 解：(Ⅰ)
=
=
=
=
(Ⅱ) ∵
∴ ,
∴
又∵ ∴
当且仅当 b=c= 时,bc=2,故bc的最大值是2.
17. 解法一：（1）证明：在上左图中，由题意可知，
为正方形，所以在上右图中， ， ]
四边形ABCD是边长为2的正方形，因为 ，AB BC，
所以BC 平面SAB，
又 平面SAB，所以BC SA，又SA AB，
所以SA 平面ABCD，
（2） 在AD上取一点O，使 ，连接EO。
因为 ，所以EO//SA
所以EO 平面ABCD，
过O作OH AC交AC于H，连接EH，
则AC 平面EOH，所以AC EH。
所以 为二面角E? AC?D的平面角，
在 中，
，
即二面角E?AC?D的正切值为
解法二：（1）同方法一
（2）如图，以A为原点建立直角坐标系，
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0， ）
易知平面ACD的法向为 设平面EAC的法向量为
由 ，
所以 ，可取
所以 9分
所以
所以 ，即二面角E?AC?D的正切值为
18．解：（1）设等差数列 的公差为d， ，
由 ，解得d=1．
（2）由（1）得
设 ，
则
两式相减得
．
19.解：(Ⅰ ) , ,
椭圆C的方程为
(Ⅱ)假设存在实数m，使得垂心T在Y轴上。
当直线斜率不存在时，设 ,则
则有 ,所以
又
可解得 （舍）
当直线斜率存在时，设 （ ） ，
设直线方程为：
则 斜率为 ， ,
又 ,
即：
消去 可得：
=
代入可得（ ）
又
综上知实数m的取值范围
黑龙江省绥化市第九中学高二理科寒假训练题（五）
一．选择题：
1．从编号为1~60的60枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用系统抽样方法抽取5枚导弹的编号可能是（ ）
A .1，3，4，7，9，5， B. 10，15，25，35，45
C.5，17，29，41，53 D. 3，13，23，33，43
2．如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（ ）
A．(0, +∞) B．(1, +∞) C．(0, 2) D．(0, 1)
3．设 ，则下列不等式中成立的是 ( )
A． 　　B． C． D．
4．以下说法中错误的个数是（ ）个
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②在 中，“ ”是“ 三个角成等差数列”的充要条件.
③“ ”是“ ”的充分不必要条件.
A．1 B．2　 　　　　 C．3　　　　　　D．０
5．在不等式组 表示的平面区域内，目标函数 的最大值是（ ）
Ａ． Ｂ．2　　 　Ｃ． 1 Ｄ． 　
6. 设抛物线 上一点 到 轴的距离是4，则点 到该抛物线焦点的距离是（ ）
A. 6 B. 4 C.8 D.12
7. 如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点．若 ， ， 则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
8.在正方体 中， 是棱 的中点，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A. 　　 　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D.
9.在区间 上随机取一个数 ， 的值介于0到 之间的概率（ ）
A. B. C. D.
10.椭圆 的焦点 为椭圆上的一点，已知 ，则 的面积为（ ）　　
A.12 B.9 C.8 D.10
二、填空题：
11.在集合 内任取一个元素，则满足不等式 的概率是________
12.已知 三点不共线，对平面 外一点 ，给出下列表达式： 其中 是实数，若点 四点共面，则 ________________
13.椭圆 被直线 截得的弦长为________________
14. 如图所示的茎叶图记录了一组数据，关于这组数据，其中说法正 确的序号是
①众数是9；②平均数是10；③中位数是9或10；④标准差是3.4．
15. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一 座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是 北偏东65°，那么B、C两点间的距离是___
三．解答题：（合计50分）
16. 设 是公比大于 的等比数列， 为数列 的前 项和．已知 ，且 ， ， 构成等差数列．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 求数列 的前 项和 ．
17.某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60） ．．．[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）
(3)把90分以上（包括90分）视为成绩优秀，那么从成绩是60分以上（包括60分）的学生中选一人，求此人成绩优秀的概率。
18.如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将ΔPDC折起，使PD⊥平面ABCD（如图②）
（1）求证AP∥平面EFG；
（2）求平面EFG与平面PDC所成角的大小；
（3）求点A到平面EFG的距离。
19.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且
点F（2，0）为其右焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线 ，使得直线 与椭圆C有公共点，且直线OA与 的距离等于4？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由。
黑龙江省绥化市第九中学高二理科寒假训练题（五）答案
一.选择题：CDBAC AABAA
二.填空题：11 . 0.25 12. 13. 14 ①② 15. 海里
三.解答题：
16. 解： 设数列 的公比为 ，
由已知，得 ，……………2分
即 ，也即 ，解得 ……………5分
故数列 的通项为 ……………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）得 ， ……………8分
又 ，
为公差的等差数列……………10分
即 ……………12分
17.解：（1）因为各组的频率和等于1，
故第四组的频率：f4=1-（0.025+0.01×52+0.01+0.005）×10=0.3
直方图如图所示
（2）依题意，60及以上的分数所在的
第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75
所以，抽样学生成绩的合格率是75%．
（3）[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]”的人数是9，18，15，3．所以从成绩是（60分）以上（包括60分）的学生中选一人，
该生是优秀学生的概率是
18.解法一：（Ⅰ）如图. 以D为坐标原点，直线DA、DC、DP分别为 与z轴建立空间直角坐标系：
则
设平面GEF的法向量 ，由法向量的定义得：
不妨设 z=1， 则
，点P 平面EFG
∴AP∥平面EFG
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF的法向量 ，
因平面EFD与坐标平面PDC重合 ，则它的一个法向量为 =（1，0，0）
设平面间的夹角为 . 则
故夹角的大小为45°。
（Ⅲ） ，
解法二：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理
∴平面EFG∥平面PAB，又PA 面PAB，∴AP∥平面EFG
（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC
∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD
过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知
∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，
故平面间的夹角大小为45°。 （3）同上
19.（1）依题意，可设椭圆C的方程为 ，且可知左焦点为
F（-2，0），从而有 ，解得 ，
又 ，所以 ，故椭圆C的方程为 。
（2）假设存在符合题意的直线 ，其方程为 ，由 得 ，因为直线 与椭圆有公共点，所以有 ，
解得 ，另一方面，由直线OA与 的距离4
可得： ，从而 ，


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