天津市2013年高考数学理科试卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷(非)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案?写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选?其他答案标号.
2.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.
参考公式:
?如果事件A, B互斥, 那么
?棱柱的体积公式V=Sh，
其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高.
?如果事件A, B相互独立, 那么
?球的体积公式
其中R表示球的半径.
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 已知集合A = {x∈R x≤2}, A = {x∈R x≤1}, 则
(A) (B) [1,2](C) [2,2](D) [－2,1]
(2) 设变量x, y满足约束条件 则目标函数z = y－2x的最小值为
(A) －7(B) －4
(C) 1(D) 2
(3) 右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为
(A) 64(B) 73
(C) 512(D) 585
(4) 已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的 , 则其体积缩小到原来的 ;
②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线x + y + 1 = 0与圆 相切.
其中真命题的序号是:
(A) ①②③(B) ①②
(C) ②③(D) ②③
(5) 已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为 , 则p =
(A) 1(B) (C) 2(D) 3
(6) 在△ABC中, 则 =
(A) (B) (C) (D)
(7) 函数 的零点个数为
(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4
(8) 已知函数 . 设关于x的不等式 的解集为A, 若 , 则实数a的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共12小题, 共110分.
二．题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
(9) 已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = .
(10) 的二项展开式中的常数项为 .
(11) 已知圆的极坐标方程为 , 圆心为C, 点P的极坐标为 , 则CP = .
(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若 , 则AB的长为 .
(13) 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .
(14) 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值.
三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13分)
已知函数 .
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ) 求f(x)在区间 上的最大值和最小值.
(16) (本小题满分13分)
一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.
(17) (本小题满分13分)
如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点.
(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;
(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 , 求线段AM的长.
(18) (本小题满分13分)
设椭圆 的左焦点为F, 离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若 , 求k的值.
(19) (本小题满分14分)
已知首项为 的等比数列 不是递减数列, 其前n项和为 , 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列.
(Ⅰ) 求数列 的通项公式;
(Ⅱ) 设 , 求数列 的最大项的值与最小项的值.
(20) (本小题满分14分)
已知函数 .
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使 .


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