2012届高考数学立体几何备考复习教案

【备考策略】
根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时要注意以下几方面：
1．全面掌握空间几何体的概念及性质，特别是常见几何体如正方体、长方体、棱柱、棱锥、球的概念和性质，这是进行计算和证明的基础。
2．多面体画图、分析图，用自己的语言描述图，提高借助图形分析问题的能力，培养空间观念。
3．注重三视图与直观图的相互转化及等积转化的思想。
4．特别关注空间三种角落计算问题以及涉及到探究点的位置的问题。
第一讲 空间几何体

【最新考纲透析】
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。
3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
4．会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。
5．了解球、棱柱、棱锥的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

【核心要点突破】
要点考向1：空间几何体的三视图
考情聚焦：1．三视图是新课标教材的新增内容，是高考中新的增加点及亮点。
2．常与表面积、体积计算综合出现，多以选择题或解答题的形式呈现，属较容易的题。
考向链接：1．解答此类问题，首先由三视图想象出原几何体的形状，并由相关数据得出几何体中的量。
2．掌握三视图是正确解决这类问题的关键，同时也体现了知识间的内在联系，是高考的新动向。
例1：（2010?陕西高考理科?Ｔ7）若某空间几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积是（ ）
(A) (B) (C) 1 (D) 2
【命题立意】本题考查三视图的概念及空间想象能力，属中等题。
【思路点拨】三视图 几何体是直三棱柱 该几何体 的体积
【规范解答】选C 由该几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，且棱柱的底面是两直角边长分别为 和1的直角三角形，棱柱的高为 ，所以该几何体的体积
要点考向2：几何体的表面积与体积
考情聚焦：1．几何体的表面积与体积一直是高考的热点内容，应引起重视。
2．多以选择题、填空题的形式考查，有时也以解答题的形式考查，属较容 易题。
考向链接：1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在。求三棱锥的体积，等积转化法是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上。
2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求 解。
例2：（2010?上海高考文科?Ｔ20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先 要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.

(1)当圆柱底面半径 取何值时， 取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）;
(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出
用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.
【命题立意】本题是个应用题，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，涉及函数求最值、几何体的三视图等相关知识.
【思路点拨】（1）建立 关于 的函数，根据函数的性质求最值；
（2）确定几何体的有关数据后，按三视图的要求画图．
【规范解答】（1）设圆柱形灯笼的高为 ，则 ，所以
所以 ．
所以，当 时S有最大值．
最大值为 （平方米）
（2）由（1） 时， 其正视图与侧视图均为边长是0.6的正方形，俯视图是半径为0.6的圆．如图：

要点考向3：球鞋与空间几何体的接、切问题
考情聚焦：1．有关球的知识的考查也是高考中常出现的问题，特别是球与多面体、旋转体等组合的接、切问题。
2．多以客观题的形式呈现，属中档题目。
例3：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球鞋面上，且该六棱柱的高为 ，底面周长为3，那么这个球的体积为
思路分析：确定球与正六棱柱的关系→求球的半径→求得体积。
解析：由已知正六棱柱的底面边长为 ，而外接球的直径恰好为最长的体对角线长。设球的半径为R，则
答案：
注：（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。
（2）若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且 则 ，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体（或其他图形），从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法。

【高考真题探究】
1．（2010?辽宁高考文科?Ｔ11）已知SABC是球O表面上的点，SA⊥平面ABC,AB⊥BC，SA=AB=1 BC= ,则球O的表面积等于（ ）
（A）4 (B）3 (C)2 (D)
【命题立意】本题考查了空间是两点间距离公式和球的表面积公式。，
【思路点拨】

【规范解答】选A。 平面ABC，AB，AC 平面ABC， ， ，
故可以A为原点，AC所在的直线为 轴，AS所在的直线为 轴建立如图所示的空间直
角坐标系A-xyz，则 , , , ,设球心O
坐标为 ，则点O到各顶点SABC的距离相等，都等于球的半径R。
，
解得 ，
球的表面积为 。故选A。
【方法技巧】1、选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心，才能求出半径，
2、也可用另外的方法找到球心，因为∠ABC是直角，所以AC是过A、B、C三点的小圆的直径，所以球心在过AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因为球心到点SAC的距离都相等，且△SAC是直角三角形，所以球心就是斜边SC的中点，球的半径为SC的一半，
3、再一种方法是将三棱锥S-ABC补成一个长方体。
2．（2010?辽宁高考理科?Ｔ12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值 范围是（ ）
(A)（0, ） (B)（1, ） (C) ( , ） (D) （0, ）
【命题立意】以三棱锥为背景考查三角形中的三边关系考查空 间想象能力和运算能力。
【思路点拨】分两种情况，一种是边长为a的棱在一个三角形中，另一种情况时长度为a的棱不在一个三角形中，分别讨论。
【规范解答】选A
对于第一种情况，取BC的中点D连结PD、AD，则 在三角形PAD中，
有
对于第二种情况同理可以得到
综合两种情况，及 ，所以a的取值范围是（0, ）。
3．（2010?浙江高考文科?Ｔ8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（ ）

（A） cm3 （B） cm3
（C） cm3 （D） cm3
【命题立意】本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以
及几何体体积的计算，属容易题。
【思路点拨】解答本题要先由三视图，想象出直观图，再求体积。
【规范解答】选B。此几何体上方为正四棱 柱、下方为正四棱锥。所以其体积为
。
【方法技巧】对于不规则几何体求体积时可分几部分规则的几何体，再求体积和。
4．（2010?北京高考理科?Ｔ3）一个长方体
去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视
图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何
体的俯视图为（ ）

【命题立意】本题考查三视图知识，考查同学们的空间想象能力。
【思路点拨】结合正、侧视图，想象直观图。
【规范解答】选C。由主、左视图可知直观图如图所示：

因此，俯视图是（C）。
5．（2010?北京高考文科?Ｔ8）如图，正方体 的棱长为2，动点E、F在棱 上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x， E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：（ ）
（A）与x，y都有关；
（B）与x，y都无关；
（C）与x有关，与y无关；
（D）与y有关，与x无关；
【命题立意】本题考查几何体体积的相关知识，关键是找到易求面积的底面与高。
【思路点拨】把EFQ看作底面，点P到对角面 的距离即为对应的高。
【规范解答】选C。 ，点P到平面EFQ的距离为 。
。

6．（2010 ?海南宁夏高考?理科T10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题.
【思路点拨】找出球与棱柱的相对关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系.
【规范解答】选Ｂ.设球心为 ，设正三棱柱上底面为 ，中心为 ，因为三棱柱所有棱的长都为 ，则可知 ， ，又由球的相关性质可知，球的半径 ，所以球的表面积为 ，故选Ｂ.

【跟踪模拟训练】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.下列结论正确的是（ ）
(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥
(B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
(C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
(A)16π (B)20π (C)24π (D)32π
3．（2010江南模拟）已知四面体 中， ，且 、 、 两两互相垂直，在该四面体表面上与点 距离是 的点形成一条曲线，这条曲线的长度是 ( )

A. B. C. D.
4．表面积为 的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( ) ．(不考虑接触点）

A. 6+ B. 18+
C. D. 18+
6．某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的主视图中，这条棱 的投影是长为 的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为________.

二、填空题（每小题6分，共18分）
7．如图所示两组立体图形都是由相同的小正方体拼成的。

(1)图(1)的正（主）视图与图(2)的___________相同.
(2)图(3)的___________图与图(4)的___________图不同.
8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于_______.

9.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）.有下列四个命题：

（A）正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；
（B）将容器侧面 水平放置时，水面也恰好过点 P；
（C）任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P；
（D）若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满.
其中真命题 的代号是：_____________（写出所有真命题的代号）.
三、解答题（10、11 题 每题15分，12题16分，共46分）
10.如图所示，长方体ABCD?A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C?A′DD′，求棱锥C?A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.

11.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中∠BAC=30°）.

12.（探究创新题）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积;
(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；
(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论.

参考答案
1．【解析】选D.A错误,如图1是由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥.

B错误,如图2,若△ABC不是直角三角形,或是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥.

C错误,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.
D正确,由顶点、底面圆周上一点及底面圆的圆心可得到旋转的直角三角形.
2．【解析】选C.设正四棱柱的底面边长为a，球半径为R,则 解得a=2，R2=6，
∴球的表面积S=4πR2=24π.
3．【解析】选A.
4．【解析】选C.因为表面积为 ，所以棱长为 2，所以外接球的半径为 ，所以球的体积为 。
5．【解析】选D.该几何体由正三棱柱和球组成，正三棱柱的表面积为 ，球的表面积为 ，所以该几何体的表面积为 。
6．【解析】如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的对角线刚好为几何体的已知棱，设长方体的对角线 ，则它的正视图投影长为 ，侧视图投影长为 ，俯视图投影长为 ，则 ，即 ，又 ， ，所以选C。
答案：4
7．【解析】对于第一组的两个立体图形,图(1)的正（主）视图与图(2)的俯视图相同.
对于第二组的两个立体图形,图(3)的正（主）视图与图(4)的正（主）视图不同,而侧(左)视图和俯视图都是相同的.
答案：(1)俯视图 (2)正（主）视 正（主）视
8．

9．【解析】由题意可知显然选项D正确.如果摆放的容器不是水平的，则选项C不正确.
设正四棱柱的底面边长为m,高为n，正四棱锥的高为h,则由

10．【解析】设长方体的三条棱长分别为AB=a，AD=b，AA′=c，
则V长方体=abc，

11．

12．【解析】（1）几何体的直观图如图.

(2)∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC ?A1B1C1为直三棱柱，
∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC,∴B1C1⊥A1C.
∵四边形ACC1A1为正方形,
∴A1C⊥AC1.
∵B1C1∩AC1=C1.
∴A1C⊥平面AB1C1.

（3）当E为棱AB的中点时,
DE∥平面AB1C1.
证明：如图，取BB1的中点F，
连结EF,FD，DE,
∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点,
∴EF∥AB1.
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.
∵FD∥B1C1，∴FD∥面AB1C1，又EF∩FD=F,
∴面DEF∥面AB1C1.
而DE 面DEF,
∴DE∥面AB1C1.

【备课资源】

【解析】选B.由三视图知该几何体为半个圆柱且高为2,底面半径为1.
∴体积V= ×π×12×2=π

6.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图所示,则该几何体的侧面积为______cm2.

【解析】该几何体为正四棱锥,

侧面三角形面积为 ×8×5=20（cm2）.
∴侧面积为S=20×4=80（cm2）.
答案：80
7.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC、PD、BC的中点.
(1)求证:PA∥平面EFG;
(2)求三棱锥P-EFG的体积.

【解析】（1）方法一：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，

∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.
∵G,H分别为BC,AD的中点,∴GH∥CD.
∴EF∥GH.
∴E,F,H,G四点共面.
∵F,H分别为DP,DA的中点,∴PA∥FH.
∵PA 平面EFG,FH 平面EFG,
∴PA∥平面EFG.
方法二:∵E,F,G分别为PC,PD,BC的中点,
∴EF∥CD,EG∥PB.
∵CD∥AB,∴EF∥AB.
又EF 平面PAB,AB 平面PAB
∴EF∥平面PAB,同理EG∥平面PAB
∵EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.
∵PA 平面PAB,∴PA∥平面EFG.
(2)∵PD⊥平面ABCD,GC 平面ABCD,∴GC⊥PD.

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