2012届高考数学数形结合思想备考复习教案

逍遥学能  2014-01-05 13:41

j.Co M
专题七:思想方法专题
第二讲 数形结合思想

【思想方法诠释】
一、数形结合的思想
所谓的数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路 ,使问题得到解决,数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从形的直观和数的严谨两方面思考问题,拓宽了解题思路,是数学的规律性与灵活性的有机结合.
数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.
二、数形结合思想解决的问题常有以下几种:
1.构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;
2.构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围;
3.构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系;
4.构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式;
5.构建立体几何模型研究代数问题;
6.构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;
7.构建方程模型,求根的个数;
8.研究图形的形状、位置关系、性质等。
三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效,具体操作时,应注意以下几点:
1.准确画出函数图象,注意函数的定义域;
2.用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图)然后作出两个函数的图象,由图求解。
四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点:
1.要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征;
2.要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化;
3.要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏;
4.精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解。

【核 心要点突破】
要点考向1:利用数学概念或数学式的几何意义解题
例1:实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:
(1)点(a,b)对应的区域的面积;
(2) 的取值范围;
(3)(a-1)2+(b-2)2的值域.
思路精析:列出a,b满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求面积→根据 的几何意义求范围→根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域.
解析:方程x2+ax+2b=0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是:函数y=f(x)= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,
由此可得不等式组
由 ,解得A(-3,1).
由 ,解得C(-1,0).
∴在如图所示的aOb坐标平面内,满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界).

(1)△ABC的面积为 (h为A到Oa轴的距离).
(2) 几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率.

由图可知

(3)∵(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方,

注:如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的对应有:
(1) 连线的斜率;
(2) 之间的距离;
(3) 为直角三角形的三边;
(4) 图象的对称轴为x= .只要具有一定的观察能力,再掌握常见的数与形的对应类型,就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法.
要点考向2:用数形结合求方程根的个数,解决与不等式有关的问题
例2:(1)已知:函数f(x)满足下面关系:①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是( )
(A)5 (B)7 (C)9 (D)10
(2)设有函数f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x∈[-4,0]时,恒有f(x)≤g(x),求实数a的范围.
思路精析:(1)画出f(x)的图象→画出y=lgx的图象→数出交点个数.
(2)f(x)≤g(x)变形为 →画出 的图象→画出 的图象→寻找 成立的位置
解析:(1)选C.由题间可知,f(x)是以2为周期,值域为[0,1]的函数.又f(x) =lgx,则x∈(0,10],画出两函数图象,则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.

(2)f(x)≤g(x),即 ,变形得 ,令 …………①, ………………②
①变形得 ,即表示以(-2,0)为圆心,2为半径的圆的上半圆;
②表示斜率为 ,纵截距为1-a的平行直线系.设与圆相切的直线为AT,其倾斜角为 ,则有tan = , ,

要使f(x)≤g(x)在x∈[-4,0]时恒成立,则②成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合,故有1-a≥6,∴a≤-5.
注:(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.
(2)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.
(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经常联系函数图象的对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标.
要点考向2:数形结合在解析几何中的应用
例3:已知椭圆 的中心在原点,一个焦点 ,且长轴长与短轴长的比是 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)若椭圆 在第一象限的一点 的横坐标为 ,过点 作倾斜角互补的两条不同的直线 , 分别交椭圆 于另外两点 , ,求证:直线 的斜率为定值;
(Ⅲ)求 面积的最大值.
解析:( Ⅰ)设椭圆 的方程为 .
由题意 ………………………………………………2分
解得 , .
所以椭圆 的方程为 .………………………………………………4分
(Ⅱ)由题意知,两直线 , 的斜率必存在,设 的斜率为 ,则 的直线方程为 .

由 得
.………………6分
设 , ,则

同理可得 ,
则 , .
所以直线 的斜率 为定值. ……………………………………8分
(Ⅲ)设 的直线方程为 .
由 得 .
由 ,得 .……………………………………10分
此时 , .
到 的距离为 ,



.
因为 使判别式大于零,
所以当且仅当 时取等号,
所以 面积的最大值为 .………………………………………………………13分
注:1.数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形,通过方程等代数的方法来研究几何问题,也就是解析法,解析法与几何法结合来解题,会有更大的功效.
2.此类题目的求解要结合该类图形的几何性质,将条件信息或结论信息结合在一起,观察图形特征,转化为代数语言,即方程(组)或不等式(组),从而将问题解决.
要点考向2:数形结合在立体几何中的应用
例4:如图1,在直角梯形 中, , , , 为线段 的中点.将 沿 折起,使平面 平面 ,得到几何体 ,如图2所示.
(Ⅰ) 求证: 平面 ;
(Ⅱ) 求二面角 的余弦值.

解析:(Ⅰ)在图1中,可得 ,从而 ,故 .
取 中点 连结 ,则 ,又面 面 ,
面 面 , 面 ,从而 平面 . …………………4分
∴ , 又 , .
∴ 平面 . ……………………… ………………………6分
(Ⅱ)建立空间直角坐标系 如图所示,则 , ,
, . ………………………………………………8分
设 为面 的法向量,
则 即 ,解得 .
令 ,可得 .
又 为面 的一个法向量,
∴ .
∴二面角 的余弦值为 .
注:1.应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角;位置关系中的平行、垂直及点的空间位置.其一般思路是:尽量建立空间直角坐标系,将要证、要求的问题转化为坐标运算.
2.立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质,结合该类图形的几何性质,将条件信息和结论信息结合在一起,观察图形特征,为代数法求解找到突破口.

【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.方程lgx=sinx的根的个数( )
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
2.已知全集U=R,集合A={xx2-3x-10<0},B={xx>3},则右图中阴影部分表示的集合为( )

A.(3,5) B.(-2,+ ) C.(-2,5) D.(5,+ )
3.在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A={(x,y)x+y≤1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)(x,y)∈A}的面积为( )
(A)2 (B)1 (C) (D)
4.函数 图象如图,则函数 的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
5.不等式组 有解,则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知f(x)是定义在(-3,3)上 的奇函数,当0


二、填空题(每小题6分,共18分)
7.复数(x-2)+yi,其中x、y均为实数,当此虚数的模为1时, 的取值范围是
8.已知关于x的方程x2-4x+5=m有四个不相等的实根,则实数m的范围是_______.
9.设A={(x,y)x2+(y-1)2=1},B={(x,y)x+y+m≥0},则使A?B成立的实数m的取值范围是______.
三、解答题(10、11题每题15分,12题16分,共46分)
10.如图,已知四棱锥 的底面是正方形, ⊥底面 ,且 ,点 、 分别 在侧棱 、 上,且
(Ⅰ)求证: ⊥平面 ;
(Ⅱ)若 ,求平面 与平面 的所成锐
二面角的大小

11.如图, , 是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路,连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧,它所在的抛物线关于直线L1对称.M到L1、L2的距离分别是2 km、4km,N到L1、L2的距离分别是3 km、9 kin.

(1)建立适当的坐标系,求抛物线弧MN的方程;
(Ⅱ)该市拟在点0的正北方向建设一座工厂,考虑到环境问题,要求 厂址到点0的距离大于5km而不超过8km,并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 km.求 此厂离点0的最近距离.(注:工厂视为一个点)
12.已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.
(1)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
(2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.

参考答案
1.【解析】选C.在同一坐标系中作出y=lgx与y=sinx的图象,如图.其交点数为3.

2.答案:B
3.

作出不等式组表示的平面区域B,如图所示,根据图形可知该区域为等腰直角三角形,可求出面积 ,所以平面区域B的面积为1.
4.答案:D
5.答案:A
6.【解析】选B.根据对称性画出
f(x)在(-3,0)上的图象如
图,结合y=cosx在(-3,0),
(0,3)上函数值的正负,
易知不等式f(x)cosx<0的解集是

7.【解析】由题意知 ,设 ,则k为过圆(x-2)2+y2=1上的点及原点的直线斜率,作图如下:

又 由对称性,可得答案:
答案:
8.【解析】令f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,其图象如图.

画直线y=m,由图象知当1答案:(1,5)
9.【解析】由于集合A,B都是点的集合,故可结合图形进行分析、求解.集合A是一个圆x2+(y-1)2=1上的点的集合,集合B是一个不等式x+y+m≥0表示的平面区域内的点的集合, 要使A B,则应使圆被平面区域所包含(如图 ),

即直线x+y+m=0应与圆相切或相离(在圆的下方),而当直线与圆相切时有

故m的取值范围是m≥ -1.
答案:m≥ -1
10.解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系 又
PA=AD=2,则有P(0,0,2),D(0,2,0)
……3分
(Ⅰ)
又 ……………7分
(Ⅱ)设 则有
同理可得 即得 ………………9分


而平面PAB的法向量可为

故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的大小为 …………12分
11.解析:(1)分别以 、 为 轴、 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则M(2,4),N(3,9)

设MN所在抛物线的方程为 ,则有
,解得
∴所求方程为 (2≤ ≤3)5分
(说明:若建系后直接射抛物线方程为 ,代入一个点坐标求对方程,本问扣2分)
(2)设抛物线弧上任意一点P( , )(2≤ ≤3)
厂址为点A(0, )(5<t≤8 ,由题意得 ≥
∴ ≥07分
令 ,∵2≤ ≤3,∴4≤ ≤9
∴对于任意的 ,不等式 ≥0恒成立(*)8分
设 ,∵ ≤8
∴ ≤ .
要使(*)恒成立,需△≤0,即 ≤010分
解得 ≥ ,∴ 的最小值为
所以,该厂距离点O的最近距离为6.25km12分
12.【解析】(1)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.
①当t+1<4即t<3时,f(x)在
[t,t+1]上单调递增(如图①).

h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)
=-t2+6t+7.
②当t≤4≤t+1即3≤t≤4时,f(x)的最大值为h(t)=f(4)=16(如图②)
③当t>4时,f(x)在[t,t+1]上单调递减(如图③),
h(t)=f(t)=-t2+8t.

(2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.
∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m,

当x∈(0,1)时φ′(x)>0,φ(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数;
当x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;
当x=1或x=3时,φ′(x)=0.
∴φ(x)极大值=φ(1)=m-7,
φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln3-15.
∵当x充分接近0时,φ(x)<0,
当x充分大时,φ(x)>0,
∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,

即7所以存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln3).

【备课资源】


4.已知函数f(x)=x2+2x,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数根,则b,c的大小关系是( )
(A)b>c
(B)b≥c或b≤c中至少有一个正确
(C)b(D)不能确定
【解析】选C.f(x)=x2+2x的图象如图.要使关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数根,则关于f(x)的一元二次方程f2(x)+bf(x)+c=0有两个不同的根.且一个根在(0,1)内,另一个根为1.

∴b5.若直线y=kx-1与曲线y= 有公共点,则k的取值范围是________.
【解析】∵曲线y= 的定义域为[1,3],且其图象为圆(x-2)2+y2=1的下半圆,如图所示,

则直线y=kx-1要与曲线有公共点,则直线只能处于l1,l2之间,且可与l1、l2重合,则k的取值范围是[0,1].
答案:[0,1]
6.已知有向线段PQ的起点P与终点Q的坐标分别为P(-1,1),
Q(2,2).若直线l:x+my+m=0与有向线段PQ延长线相交,求实数m的取值范围.


8.集合A={x-1(1)若A∩B= ,求a的取值范围;
(2)若A∪B={xx<1},求a的取值范围.
【解析】(1)如图所示:A={x-1
B={xx∴数轴上点x=a在x=-1左侧,
∴a≤-1.
(2)如图所示:A={x-1
B={xx∴数轴上点x=a在x=-1和x=1之间,
∴-19.如图,l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN.
(1)证明AC⊥NB;
(2)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.

【解析】如图,

建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1,则有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0).
(1)∵MN是l1、l2的公垂线,l1⊥l2,∴l2⊥平面ABN,
∴l2平行于z轴.故可设C(0,1,m).于是


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